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関数近似で学ぶ chainer とディープラーニング

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$y=e^x$ という関数をいわゆるディープラーニングで学習する、というお題を通じて、chainerを学んでみます。下記はchainer1.6.2.1で確認しています。

同じ内容をJupyter notebook形式でこちらに置いていますので、動かしながら確認したい方はそちらを参照してください。

まず必要なモジュール類をインポートします。

import numpy as np
import chainer
from chainer import cuda, Function, gradient_check, Variable, optimizers, serializers, utils
from chainer import Link, Chain, ChainList
import chainer.functions as F
import chainer.links as L

from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

教師データの作成

まず教師データを出力する関数を作ります。今回は0から1.0までの浮動小数$x$に対して$e^x$が期待値です。

バッチ学習という手法を使いますが、その際に$n$ 個の問題・解答のセットを返す関数があると便利です。

def get_batch(n):
    x = np.random.random(n)
    y = np.exp(x)
    return x,y
print get_batch(2)
(array([ 0.25425583,  0.87356596]), array([ 1.28950165,  2.39543768]))

ニューラルネットの設計

次にニューラルネットを設計します。

$y=e^x$ は非線形関数なので、線形関数だけでの近似では十分な精度が得られません。入力を$x$としたとき、$y=Wx+b$のようなものを線形関数と呼びます。$W$を重み、$b$をバイアスと呼びますが、どちらもただの行列です。つまり直線(みたいなもの)ですね。

さて、この線形演算に対して、非線形関数による活性化層が入るだけでもうニューラルネットと呼んでいいらしいです。それを多層にしたものがディープニューラルネット、いわゆるディープラーニングで使われる非線形関数です。どれぐらい深ければディープと呼んでいいのか不明ですが、今回は3段ぐらいにしてみます。

一般的な分類問題だとreluという非線形関数が非常によく使われますが、reluだと微分消失してしまうので今回はleaky_reluを使います(この問題の場合はreluだと収束しませんでした)。leaky_reluは入力が負なら0.2をかける、というだけのシンプルな関数です。

それぞれの線形層のもつ$W,b$というパラメータを最適化することで、$y=e^x$に相当するような関数を表現してみようということになります。

というわけで、ニューラルネットの構成は下記のようにしてみます。L1,L2,L3はそれぞれ線形関数で、いったん中間層$h1,h2$の次元を16、32と増やしたあとに、最後に1次元に落としています。

chainer_00.png

以下では$L_n$のパラメータ$W,b$を$W_n,b_n$のように表記します。

中間層(隠れ層)である$h1,h2$でチャネルをたくさん持てる(つまり、パラメータ$W_n,b_n$の行列が巨大である)ということがネットワークの表現力を表しているわけです。途中に非線形要素がなければ、

\begin{eqnarray*}
 h_3 &=& W_3 (W_2(W_1x+b_1)+b_2)+b_3 \\
     &=& W_3 W_2 W_1 x + W_3W_2b_1 + W_3b_2 + b_3 \\
     &=& W x + b
\end{eqnarray*}

となります。$W=W_3 W_2 W_1, b=W_3 W_2b_1+W_3b_2+b_3$ ですが、$W_1,W_2,W_3$などの行列がどんなに大きい行列だったとしても合成関数のパラメータである$W,b$はともにスカラーになってしまいます。$x,W,b$がすべてスカラーということは、$y=Wx+b$はつまり傾きと切片だけを変えられる直線で、これを$e^x$にフィットしろ、ということになってまあ無理がありますね。ところが非線形要素が入るだけで$W_1,W_2,W_3$のパラメータがすべて生きることになります。最初の方で述べた「非線形要素があればニューラルネットと呼んでいい」というのはこういう理由なわけです。

ニューラルネットの実装

これをchainerで書き下します。

chainerでは、最適化されるべきパラメータを持つ関数をL(リンク)、パラメータなしの関数をF(ファンクション)と呼んで区別しています。このあたりはver1.5あたりから導入された概念だそうで、リンクをファンクションで書いたりしているチュートリアルをよく見かけます。リンクはL.Linear(入力サイズ,出力サイズ)のように大文字始まりで、ファンクションはF.linear(x,W,b)のように小文字始まりで定義されています。古いバージョンでは大文字始まりのファンクションが使われていたようで、F.Linear()とL.Linear()とF.linear()があります。前者2つは等価でパラメータを持った関数、最後のがパラメータを与えるただの関数、です。このあたり理解するまでにだいぶ混乱しました。

すこし話がそれました。次にリンクをまとめたものを渡してチェインと呼ばれるクラスを作ります。Pythonのクラスの書き方に慣れていないと面食らいますが、リンク一覧を定義する__init__()と出力までの計算グラフを返す関数だけがあれば良いです。ここではロスを__cal__()で返すことにします。__call__()で定義した関数は

m=MyChain()
loss=m(x,t)

のように呼べます。

パラメータを含む関数は__init__()に、それ以外は__call()__や他のメソッドで使うように切り分けられているのがポイントですね。L.Linear()は入力チャネル、出力チャネル、の数だけをパラメータで渡せばいいのでTensorFlowよりはるかに記述は簡単です。

class MyChain(Chain):
    def __init__(self):
        super(MyChain, self).__init__(
             l1=L.Linear(1, 16),  # 入力1チャネル、出力16チャネル
             l2=L.Linear(16, 32),
             l3=L.Linear(32, 1),
        )

    def __call__(self,x,t):
        # xを入力した際のネットワーク出力と、回答t との差分を返します。
        # 今回は平均二乗誤差を使います。
        return F.mean_squared_error(self.predict(x),t)

    def  predict(self,x):
        # xを入力した際のネットワーク出力を返します。
        h1 = F.leaky_relu(self.l1(x))
        h2 = F.leaky_relu(self.l2(h1))
        h3 = F.leaky_relu(self.l3(h2))
        return h3

    def get(self,x):
        # xを実数で入力したら出力を実数で返すという便利関数です。
        # numpy.ndarrayとVariableを経由するので少々わかりにくいです。
        return self.predict(Variable(np.array([x]).astype(np.float32).reshape(1,1))).data[0][0]

このモデルのインスタンスを作り、特定の戦略にしたがってパラメータを最適化してくれるオプティマイザの設定をします。今回はAdam()というものを使います。

model = MyChain()
optimizer = optimizers.Adam()
optimizer.setup(model)

学習

いよいよ学習ループを回します。

chainerの作法として、(バッチ軸, データ軸1,(データ軸2),..)という次元構造を持つ np.float32 の多次元配列(テンソル)をVariableクラスに変換したものでやりとりします。Variableクラスから数値の実体を取り出すには dataメソッドを使います。...文字にするとさっぱりわかりませんね。

バッチというのは教師データからいくつか抜き取ることを指します。バッチ数というのはサンプル数という表現をとったほうがわかりやすいでしょうか。つねに複数のサンプル数に対してパラメータを更新すわけですが、これにさらにデータのチャネル数という次元が加わり、つぎにデータの表現に必要な次元が足された、多次元配列(テンソル)を扱うことになります。

今回のケースでは入力データが1次元なので、
(バッチ軸、データ軸)
で良いですが、2次元画像のRGB3チャネルで構成されるデータは
(バッチ軸、チャネル軸=色軸、縦軸、横軸)
のように渡します。慣れないとわかりにくいですね。私は下のような図をイメージしています。

chainer_02.png

学習のアップデートは

  1. 微分の初期化
  2. フォワードプロパゲーション(ネットを順方向に辿って出力を計算する。この場合は model(x_,t_) )
  3. バックワードプロパゲーション(ネットを逆向きに辿ってパラメータの微分を計算する)
  4. オプティマイザのアップデート (微分を用いてパラメータを更新する)

が一連の流れです。optimizer.update(model) でこの流れを一気にやってくれますが、どうせforwardの途中経過を覗きたくなるので、私は下記のようにすべて書くことが多いです。

losses =[]
for i in range(10000):
    x,y = get_batch(100)
    x_ = Variable(x.astype(np.float32).reshape(100,1))
    t_ = Variable(y.astype(np.float32).reshape(100,1))

    model.zerograds()
    loss=model(x_,t_)
    loss.backward()
    optimizer.update()

    losses.append(loss.data)

plt.plot(losses)
plt.yscale('log')

chainer_13_0.png

横軸はループ回数、縦軸はlossをlogプロットしたものです。いい感じに減ってますね。

結果の確認

では、出来上がったモデルの出力を確認してみましょう。0.2を入れたらexp(0.2)に近い値が出るでしょうか。

print model.get(0.2)
print np.exp(0.2)
1.22299
1.22140275816

良さそうですね。では0から1の範囲でどれ位関数フィットできているでしょうか。

x=np.linspace(0,1,100)
plt.plot(x,np.exp(x))
plt.hold(True)
p=model.predict(Variable(x.astype(np.float32).reshape(100,1))).data
_=plt.plot(x, p,"r")

chainer_17_0.png

青が正解で、赤が学習結果です。

いい感じです。線形関数だけではこのフィット性能は出ませんよね。ネットの深さ、幅(次元数)、などをいろいろ変えてみると面白いですが、よく言われているように、幅よりも非線形要素と深さが重要、というのが確認できます。

学習結果モデルの観察

さて、結果学習後のモデルはどういう係数でできているのか見てみましょう。たとえば最初のレイヤl1の重み$W$は下記のようにしてアクセスできます。

model.l1.W.data
array([[ 0.31513408],
       [ 0.75111604],
       [ 0.48637491],
       [-1.34837043],
       [ 0.0388922 ],
       [-1.29884255],
       [-0.49960354],
       [ 0.35992688],
       [ 0.25262424],
       [-2.14205575],
       [ 0.83558381],
       [-0.61535668],
       [ 2.15679836],
       [-0.17658199],
       [-1.36228967],
       [-0.5751065 ]], dtype=float32)

これを使って、たとえば下記のようなnumpyで同じ出力を返す関数を作れます。

def leaky_relu(x):
    # 要素ごとの演算にするために一度ndarrayを経由する
    m = np.array((x<0))
    x = np.array(x)
    return np.matrix((x*0.2)*m + x*(~m)) 

def pseudo_exp(x):
    x = np.matrix(x)
    W1 = np.matrix(model.l1.W.data)
    b1 = np.matrix(model.l1.b.data)
    W2 = np.matrix(model.l2.W.data)
    b2 = np.matrix(model.l2.b.data)
    W3 = np.matrix(model.l3.W.data)
    b3 = np.matrix(model.l3.b.data)

    h1 = leaky_relu(W1*x+b1.T)
    h2 = leaky_relu(W2*h1+b2.T)
    y = leaky_relu(W3*h2+b3.T)
    return y
print pseudo_exp(0.2)
print np.exp(0.2)
[[ 1.22299392]]
1.22140275816
x=np.linspace(0,1,100)
plt.plot(x,np.exp(x))
plt.hold(True)
p=pseudo_exp(x.T)
_=plt.plot(x, p.T,"r")

chainer_24_0.png

model.l1.W.dataなどの係数値をそのまま書き下せば、完全にnumpyだけで学習結果モデルを書けます。CやGoなどの言語へ変換するのも難しくはないでしょう。まあ、chainerやnumpyは利便性の割には十分速いので、速度だけの理由で他の言語に変換する必要はないと思いますが、学習後のモデルを使うだけであれば、この手のアプローチでchainerなどの機械学習ライブラリに依存しない形式に変換するのは場合によっては有用な気がします。

途中経過の観察とセーブ

さて、Jupyter上で試行錯誤する際に、途中経過を眺めたくなるでしょう。下記のように書くと途中経過のプロットが更新されます。収束速度にもよりますが、10回に1回表示を更新するようにしています。

さらに、セーブ重要です。100回に1回セーブします。

losses =[]
from IPython import display

model = MyChain()
optimizer = optimizers.Adam()
optimizer.setup(model)

plt.hold(False)

for i in range(500):
    x,y = get_batch(100)
    x_ = Variable(x.astype(np.float32).reshape(100,1))
    t_ = Variable(y.astype(np.float32).reshape(100,1))

    model.zerograds()
    loss=model(x_,t_)
    loss.backward()
    optimizer.update()

    losses.append(loss.data)

    if i%10==0:
        plt.plot(losses,"b")
        plt.yscale('log')
        display.clear_output(wait=True)
        display.display(plt.gcf())
    if i%100==0:
        serializers.save_npz('my.model', model)

display.clear_output(wait=True)

chainer_27_0.png

セーブしたモデルを使って出力を見てみます。

serializers.load_npz('my.model',model)
model.get(0.2)
1.1877015

バックプロパゲーションとは

さて、少し原理的なところに踏み込んでみましょう。そもそもバックプロパゲーションでパラメータが最適化される、というのはどういうことでしょうか。

簡単のために一度ネットワークを線形関数($y=Wx+b$で$W,b$がスカラーというただの一次式)に戻して、かつ、オプティマイザをシンプルなSGDというアルゴリズムに戻します。バッチも1つだけにします。

$W,b$ の初期値ですが、chainerのデフォルトでは、$W$が乱数、$b$が$0$に選ばれます。ここではわかりやすさのために、$W=0, b=0$を初期値とします。

def get_batch(n):
    x=np.random.random(n)
    y= np.exp(x)
    return x,y

class LinearChain(Chain):
    def __init__(self):
        super(LinearChain, self).__init__(
             l1=L.Linear(1, 1,initialW=0.0),
        )

    def __call__(self,x,t):
        return F.mean_squared_error(self.predict(x),t)

    def  predict(self,x):
        return self.l1(x)

    def get(self,x):
        return self.predict(Variable(np.array([x]).astype(np.float32).reshape(1,1))).data[0][0]

$y=Wx+b$ という線形関数に対して、$E=(y-t)^2$ という自乗誤差を誤差関数として定義しました。

この自乗誤差を0に近づけるためにパラメータである$W$と$b$を更新していくわけですが、更新の方向は誤差$E$をそれぞれのパラメータで偏微分したもので定義されます。つまり、

\varDelta W = \frac{\partial E}{\partial W},\quad
\varDelta b =  \frac{\partial E}{\partial b} 

です。この値をパラメータの微分と呼んでいます。この式を展開すると、

\begin{eqnarray*}
\varDelta W &=& \frac{\partial E}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial W} &=& 2 \left(y-t \right) x \\
\varDelta b &=& \frac{\partial E}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial b} &=& 2 \left( y-t \right) \\
\end{eqnarray*}

となります。こう変形することで、パラメータの微分が、誤差の差分である$y-t$ 、既知の入力$x$、で表せたわけです。演算の過程で、下流である誤差の差分から上流の式のパラメータの差分に戻ってくるわけなので、バックプロパゲーションと呼びます。$t,x$ は既知ですが、$y$は、フォワードプロパゲーション、つまり $Wx+b$ を計算しないと得られません。ということで、フォワードプロパゲーションののちにバックプロパゲーション、という演算をすればパラメータの差分が得られるわけです。

図にしてみるとこういう感じです。

chainer_01.png

こうやって計算された$\varDelta W, \varDelta b$ を使って$W,b$ を更新します。SGDは単純に傾きに一定の学習率$\alpha$をかけたぶんだけパラメータを更新します。つまり

W \leftarrow W-\alpha \varDelta W , \quad b \leftarrow b-\alpha\varDelta b

という風に更新されていきます。なお、chainerのデフォルトは$\alpha=0.01$です。

この動きを確認してみましょう。

model2 = LinearChain()
optimizer2 = optimizers.SGD()
optimizer2.setup(model2)

losses=[]
trace=[]

def scalar(v):
    # Valiableをスカラー値に戻す
    return v.data.ravel()[0]

for i in range(5):
    x,y = get_batch(1)
    x_ = Variable(x.astype(np.float32).reshape(1,1))
    t_ = Variable(y.astype(np.float32).reshape(1,1))

    model2.zerograds()
    loss=model2(x_,t_)        
    loss.backward(retain_grad=True)

    y = scalar(model2.predict(x_))
    t=scalar(t_)
    x=scalar(x_)
    W=scalar(model2.l1.W)
    b=scalar(model2.l1.b)

    #手動で計算したdelta_W,delta_b
    dW_hand = 2*((y-t)*x)
    db_hand = 2*((y-t))

    #chainerが計算したdelta_W, delta_b
    dW=model2.l1.W.grad.ravel()[0]
    db=model2.l1.b.grad.ravel()[0]

    print "======  step %d  ======" % i
    print "W,b  \t\t\t\t%2.8f, %2.8f" % (W,b)
    print "2(y-t)x,2(y-t)\t\t%2.8f, %2.8f" % (2*((y-t)*x), 2*((y-t)))
    print "⊿W,⊿b\t\t\t\t%2.8f, %2.8f" % (dW,db)   #chainerの出すdelta_W, delta_b
    print "W-α⊿W,b-α⊿b \t\t%2.8f, %2.8f" % (W-0.01*dW,b-0.01*db)
    optimizer2.update()

======  step 0  ======
W,b                 0.00000000, 0.00000000
2(y-t)x,2(y-t)      -3.58069563, -4.46209097
⊿W,⊿b               -3.58069563, -4.46209097
W-α⊿W,b-α⊿b       0.03580696, 0.04462091
======  step 1  ======
W,b                 0.03580695, 0.04462091
2(y-t)x,2(y-t)      -0.08072093, -1.99062216
⊿W,⊿b               -0.08072093, -1.99062216
W-α⊿W,b-α⊿b       0.03661416, 0.06452713
======  step 2  ======
W,b                 0.03661416, 0.06452713
2(y-t)x,2(y-t)      -1.16285205, -2.84911036
⊿W,⊿b               -1.16285205, -2.84911036
W-α⊿W,b-α⊿b       0.04824269, 0.09301824
======  step 3  ======
W,b                 0.04824268, 0.09301823
2(y-t)x,2(y-t)      -0.44180280, -2.23253369
⊿W,⊿b               -0.44180280, -2.23253369
W-α⊿W,b-α⊿b       0.05266071, 0.11534357
======  step 4  ======
W,b                 0.05266071, 0.11534357
2(y-t)x,2(y-t)      -1.07976472, -2.70742726
⊿W,⊿b               -1.07976472, -2.70742726
W-α⊿W,b-α⊿b       0.06345836, 0.14241784

以下2点が確認できます。

  • $2(y-t)x, 2(y-t)$という手動計算と同じ値をchainerのgradが返している
  • SGDによって0.01gradぶんずつ$W,b$ が更新されている

chainerのLinearのソースを見ると、多入出力でも対応できるように書かれているので少々わかりにくいですが、forward()には$Wx+b$、backword()には、後段の微分 grad_outputsに$x$をかけたものが$W$の微分として出力されるように記述されているのが確認できます。backward()の出力は$x,W,b$の微分がすべて返されています。

また、SGDのソースを見ると、update()を呼ばれたときにgradにlr=0.01(lrはlearning rateの略でしょう)をかけたものをパラメータとして返しています。

さて、更新の結果、最適値に近づいていく様子を見てみましょう。

import matplotlib.path as mpath
import matplotlib.patches as patches

# ロスの等高線を書く
psize=40

W=np.linspace(-1,3,psize)
B=np.linspace(-1,3,psize)
Wm, Bm = np.meshgrid(W, B)

Z=np.zeros((psize,psize))
for w in range(psize):
    for b in range(psize):
        Z[b,w]=0.0
        for x in np.linspace(0,1,10):
            Z[b,w] += (W[w]*x+B[b]-np.exp(x))**2

plt.contourf(Wm,Bm, Z, 100,vmax=80,vmin=0)
plt.colorbar()
plt.hold(True)

model2 = LinearChain()
optimizer2 = optimizers.SGD()
optimizer2.setup(model2)

losses=[]
verts = [ ]
batchsize=20

for i in range(1000):

    x,y = get_batch(batchsize)
    x_ = Variable(x.astype(np.float32).reshape(batchsize,1))
    t_ = Variable(y.astype(np.float32).reshape(batchsize,1))

    # 10回に一回、途中経過を保存
    if i%10==0:
        w= model2.l1.W.data[0][0]
        b = model2.l1.b.data[0]
        verts.append((w,b))

    model2.zerograds()
    loss=model2(x_,t_)
    loss.backward()
    optimizer2.update(retain_grad=True)

# 途中経過をプロット
xs, ys = zip(*verts)
_=plt.plot(xs, ys, 'o', lw=1, color='white') #, ms=10)

chainer_36_0.png

横軸が$W$, 縦軸が $b$ です。等高線はロスを示しています。底に向かって進んでいるのがわかります。

もちろん、単純化したので最適点でもフィット結果は直線です。最小二乗近直線ですね。以下に示します。

x=np.linspace(0,1,100)
plt.plot(x,np.exp(x))
plt.hold(True)
p=model2.predict(Variable(x.astype(np.float32).reshape(100,1))).data
_=plt.plot(x, p,"r")

chainer_38_0.png

以上で、$y=e^x$ という関数を近似するようなニューラルネットを最適化することを通じてchainerの使い方を学び、
ほんのさわりだけですが、最適化がどういう原理で、どのように進んでいくのか、といったところに触れてみました。

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