はじめに
(実線形な)全単射写像 $\mathbb{R}^2 \ni (x,y) \mapsto x+iy \in \mathbb{C}$ により我々は複素関数$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ と実関数$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ とを同一視している。
正則であるかどうかに関わらず複素関数は$f(z)$と置けます。各$z=x+iy$の行き先さえ決まれば写像は定まるので、$f(z),f(x+iy),f(x,y)$ のどの表記も本質的に同じことです。
ここで言ってる"$f(z)$で表すことができる"というのは数学的には何も言ってなくて、正則を柔らかく言い換えようとしているだけです。あえて言うなら、$z$に関して複素一変数関数として微分できる(実一変数関数と同じように思える)というくらいの意味です。
定義
定義を思い出すと、開集合$D \subset \mathbb{C}$上の複素関数$f:D \rightarrow \mathbb{C}$ について、
$f$ が $z \in D$において正則あるいは(複素)微分可能であるとは、
ある$\alpha \in \mathbb{C}$に対し$\left| \frac{f(z+h)-f(z)}{h}-\alpha \right| \rightarrow 0\,(h \rightarrow 0 \text{ in } \mathbb{C})$ が成り立つこと、
すなわち$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\alpha \in \mathbb{C}$が存在することであり、
この$\alpha$を$f$の$z$における微分係数といい$f'(z)$と表す。$f$ が $D$上で正則あるいは(複素)微分可能であるとは、
各点$z \in D$において$f$が正則であることをいい、
このとき各点$z \in D$に$f'(z)$を対応付ける写像$f':D \rightarrow \mathbb{C}$を$f$の導関数という。$f=u+iv \,\,(u,v:D \rightarrow \mathbb{R})$とおいたとき、$$
\frac{\partial u}{\partial x}
=\frac{\partial v}{\partial y} \,,\,
\frac{\partial v}{\partial x}
=-\frac{\partial u}{\partial y}
$$あるいはこれをまとめた$$
\frac{\partial f}{\partial x}
=-i\frac{\partial f}{\partial y}
$$を Cauchy-Riemann equation (CR)という。
$f$が$D$上で正則であることの必要十分条件は$f$が$D$上で(CR)を充たすことである。
また、形式的に$\frac{\partial}{\partial z}
:= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
-i\frac{\partial}{\partial y} \right) \,, \frac{\partial}{\partial \bar{z}}
:= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
+i\frac{\partial}{\partial y} \right)$と定めると、
$f$が$D$上で正則であることの必要十分条件は$D$上で $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}
= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x}
+i\frac{\partial f}{\partial y} \right)=0$ となることである。
これは"ある意味"で一般の複素関数が$z$と$\bar{z}$に関する実二変数関数であり、その内$\bar{z}$に依存しない純粋な$z$の関数が正則関数であるということを暗示している。
例
例えば$f(z)=|z|^2=z \bar{z}=x^2+y^2$は$D=\mathbb{C}$上で実解析的ですが、$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=z \neq 0$なので正則ではありません。見ての通り$\bar{z}$が影響していますので。
上のように形式的に $\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$ を定めましたが、これはうまく出来ていて次が成り立ちます。
Proposition
$P(z,w) \in \mathbb{C}[z,w]$(複素二変数多項式) に対して$f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ を$f(z)=P(z,\bar{z})$で定めると、
$$\frac{\partial f}{\partial z}(z) = P_z(z,\bar{z}) \,,\,
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z) = P_w(z,\bar{z})$$
が成立する。ここで$P_z,P_w$は$P(z,w)=\sum_{mn} c_{mn} z^m w^n$の(形式的な)偏微分
$$P_z(z,w)=\sum_{mn} m c_{mn} z^{m-1} w^n \,,\,
P_w(z,w)=\sum_{mn} n c_{mn} z^m w^{n-1}$$
で得られる多項式である。
proof
偏微分の複素線型性から、特に単項式$P(z,w)=z^m w^n$について示せば十分である。
このとき$D=\frac{\partial}{\partial z}, \frac{\partial}{\partial \bar{z}}$それぞれに対して偏微分$\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$の線型和なのでLeibniz ruleが成立し(展開してLeibniz rule使ってから括り直せば示せる)、
$$Df(z) = D(z^m \bar{z}^n) = (Dz)m z^{m-1} \bar{z}^n +(D\bar{z})n z^m \bar{z}^{n-1}$$
ここで
$\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial z} &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
-i\frac{\partial}{\partial y} \right)
(x+iy)=1 \\
\frac{\partial \bar{z}}{\partial z}
&=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
-i\frac{\partial}{\partial y} \right)
(x-iy)=0 \\
\frac{\partial z}{\partial \bar{z}}
&=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
+i\frac{\partial}{\partial y} \right)
(x+iy)=0 \\
\frac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}}
&=\frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}
+i\frac{\partial}{\partial y} \right)
(x-iy)=1
\end{aligned}$
となるから、
$\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial z}(z)
&= m z^{m-1} \bar{z}^n = P_z(z,\bar{z})\\
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z)
&= n z^m \bar{z}^{n-1} = P_w(z,\bar{z})
\hspace{30pt}\square
\end{aligned}$
簡単のため二変数多項式$P$にしましたが、一般の二変数複素解析関数でも成り立ちます。
さらに
強い定理として、$f$が$D$上で正則であることと$f$が$D$上で解析的($C^\omega$級)である(=冪級数展開できる)こととが同値であるというのがあります。
これは１階複素微分できれば無限回複素微分できるということなので、とても強いことを言っています。実数ではこんなことは成り立ちません。
逆にこれだけ強いことが成り立たないといけないので、正則関数は複素関数の中でかなり限られていると言えます。