確率変数
定義をまずは思い出すと、
確率空間$(\Omega,\mathscr{F},P)$と距離空間$(S,d)$に対して確率変数(=Borel可測関数)
$$X,X_n :\Omega \rightarrow S$$
を考えます。
確率収束
${X_n}$が$X$に確率収束するとは、
$$\forall \delta>0,
\lim_{n \rightarrow \infty}P(\omega\in\Omega|d(X_n(\omega),X(\omega))\geq\delta)=0\
\left(
\Leftrightarrow
\forall\delta>0,
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\omega\in\Omega|d(X_n(\omega),X(\omega))<\delta)=1
\right)$$
のことでした。limも書き下すと
$$\hspace{-100pt}\forall\delta>0,
\forall\varepsilon>0,
\exists N \in \mathbb{N},\
\forall n\geq N,\,
P(\omega\in\Omega|d(X_n(\omega),X(\omega))\geq\delta)<\varepsilon$$
となります。
確率収束は距離が$\delta$以上の領域が小さくなっていく(距離が$\delta$未満の領域が大きくなっていく)ということを言ってるので、大雑把に見て関数のグラフが近づいていってる感じです。一点一点での値の収束は大事ではないです。
一般に上のような写像について、
各点収束(すべての点で収束)
$\Rightarrow$概収束(殆ど至るところ(=零集合を除き)収束)
$\Rightarrow$確率収束(測度収束)
が成り立ち、逆は反例があります。
例えば、$n\in\mathbb{N},k\in{1,...,n}$に対して
$$X_{n,k}=\chi_{(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})}
:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$$
と定め、これらを群数列のように一列に並べた確率変数列を考える。ここで$(0,1)$にはLebesgue測度を入れる。また、$\chi_A$は以下で定義され、$A$の特性関数と呼ばれる。
$$\chi_A(\omega):=\begin{cases}
1 \hspace{20pt} (\omega\in A)\
0 \hspace{20pt} (\omega\notin A)
\end{cases}$$
$\delta \in (0,1)$を任意にとると、
$$\begin{eqnarray}
P(\omega\in (0,1)|\,\, |X_{n,k}(\omega)-0|\geq\delta)
&=&P(\omega\in (0,1)|\,\,\chi_{(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})}(\omega) \geq\delta)\
=P\left(\bigl(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\bigr)\right)
&=&\frac{1}{n}
\rightarrow 0 \,\,\,(n\rightarrow\infty)
\end{eqnarray}$$
よりこれは$0$に確率収束する。
しかし、任意の$\omega\in (0,1)$に対して${X_{n,k}(\omega)}$は$0$と$1$を振動して収束しないため、この確率変数列は概収束しない。
この${X_{n,k}}$のグラフを書いてみたら確率収束の雰囲気(各点では収束していないかもしれないがグラフは近づいていく)が掴めるかと。
例題
確率変数列を
$X_{n}(\omega) = \begin{cases}
2^{n} \hspace{10pt} \bigl(0 < \omega < \frac{1}{n} \bigr) \, \, n=1, 2, \cdots \
0 \hspace{10pt} (\text{その他})
\end{cases}$
とする. $X_n$は$0$に確率収束することを確かめよ.
問の方は定義にしたがって確かめればOK。
ここでは上の記号で
$\Omega=(0,1), P=(\text{Lebesgue測度}), S=\mathbb{R}, X=0$
という設定ですね。
答え
任意に$\delta>0$をとる。$2^n\geq\delta$なる$n\in\mathbb{N}$に対して、
$$\begin{eqnarray}
P( \omega\in (0,1)| \,\,|X_n(\omega)-0|\geq\delta )
&=&P(\omega\in (0,1)|X_n(\omega)\geq\delta)\
=P((0,1/n))
&=&\frac{1}{n}
\end{eqnarray}$$
したがって
$$\lim_{n \rightarrow \infty}
P( \omega\in (0,1)| \hspace{5pt}|X_n(\omega)-0|\geq\delta )
=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}
=0$$
であり、${X_n}$は$0$に確率収束する。
解
${X_n}$は$0$に各点収束しているから$0$に確率収束する。