アニメーションGIFを写真.app（Photos.app）に保存する方法を紹介します。

UIImageViewを配置してアニメーションGIFを読み込みます。

sample1.swift

import UIKit

class ViewController: UIViewController {

    @IBOutlet weak var kImageView: UIImageView!

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()

        let url = NSURL(string: "http://example.com/sample.gif")!        
        let task = NSURLSession.sharedSession().dataTaskWithURL(url, completionHandler: {data, response, error in
            self.kImageView.image = UIImage(data: data!)
        })
        task.resume()
    }
}

アニメーションGIFを写真.appに保存するためにはPhotos.frameworkを利用します。

sample2.swift

import UIKit
import Photos

class ViewController: UIViewController {

    @IBOutlet weak var kImageView: UIImageView!

    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()

        let url = NSURL(string: "http://example.com/sample.gif")!        
        let task = NSURLSession.sharedSession().dataTaskWithURL(url, completionHandler: {data, response, error in
            self.kImageView.image = UIImage(data: data!)
            let url = NSURL(fileURLWithPath: NSTemporaryDirectory(), isDirectory: true).URLByAppendingPathComponent("tmp.gif")
            data?.writeToURL(url, atomically: true)
            
            PHPhotoLibrary.sharedPhotoLibrary().performChanges({
                PHAssetChangeRequest.creationRequestForAssetFromImageAtFileURL(url)
            }, completionHandler: nil)
        })
        task.resume()
    }
}

アニメーションGIFのデータを一度ファイルに書き出すのがポイントです。
UIImageWriteToSavedPhotosAlbum() や PHAssetChangeRequest.creationRequestForAssetFromImage() などUIImageを引数にとるものでは1コマ目だけが保存され静止画となります。

写真.appを開くとアニメーションGIFが保存されていることがわかります。
しかし写真.appでは静止画となってしまいアニメーションが再生されません。

アニメーションGIFであることを確認するために共有をタップしてメールに添付します。
これでアニメーションGIFであることが確認できます。