カテナリー曲線のシミュレーション

はじめに

ロープを水平にすると電柱の電線のようにカテナリー曲線を描くことが一般的に知られている。これは、ロープを細かく分割して質量を持った短いロープの集合体として考え、微分方程式を立てることで証明することができる。もしくは、変分法でも証明することができる。そこで、今回はPythonを用いて水平にしたロープの描く軌跡をシミュレーションする。

運動方程式

左から等間隔に$n$個の質点を並べる。そこで、$i$番目の質点に対して以下のような運動方程式を考える。
ただし、質点の座標を$X_i=x_i+jy_i$とした。

m\frac{dX_i^2}{dt^2}=-j\{ -k(X_i-X_{i-1})-k(X_i-X_{i-1})=-k(X_{i+1}+X_{i-1}-2X_i)\}

プログラム

上記の運動方程式を用いて、プログラムを作成する。

python catenary.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math
import matplotlib.animation as animation

fig = plt.figure()

ims = []
g=-9.8
m=1

k=1
n=10
X=np.linspace(0,10,n,dtype=complex)
dxdt=np.zeros(n,dtype=complex)
ddxdtt=np.zeros(n,dtype=complex)
dt=0.03
Y=np.zeros(n)

t=0
#オイラー法による微分方程式の数値解析
while t<10:
  for i in range(n):
    if 0<i<n-2:
      ddxdtt[i]=-(k/m*abs(X[i+1]+X[i-1]-2*X[i])-m*g)*(-1j)
    #境界条件（両端固定）
    elif i==0:
      X[0]=0
      ddxdtt[0]=0
    else:
      X[-1]=0
      ddxdtt[-1]=0
    dxdt[i]=dxdt[i]+ddxdtt[i]*dt
    X[i]=X[i]+dxdt[i]*dt
  im=plt.plot(X.real,X.imag,"o",color="red")
  ims.append(im)
  t=t+dt
# 10枚のプロットを 100ms ごとに表示
ani = animation.ArtistAnimation(fig, ims, interval=10)
#保存
ani.save("カテナリー曲線2.gif", writer="pillow")

これを実行すると以下のようになる。

確かに、落下するにつれてカテナリー曲線を各質点は描写していくのが分かる。

まとめ

今回は、オイラー法を用いて、カテナリー曲線のシミュレーションを行った。結果見事に、曲線を描写することができた。

参考文献