フレミングの左手の法則と磁束密度の分布

はじめに

電動機が回転する理由は、フレミングの左手の法則によって説明することができる。フレミングの左手の法則は、平等磁場空間に電流を流した導体を垂直方向に置くと電磁気力が生じるというものである。その方向は、磁極と導体棒が作る合成磁場の密度が大きいところから、小さいところに向けて移動する方向である。今回は、そのことについて、Pythonを用いて調査することを目的とする。

フレミングの左手の法則とは

磁束密度$\textbf{B}$平等磁界中に垂直方向に長さ$l$で電流$\textbf{I}$が流れている導体棒を置くと、以下のような力$\textbf{F}$が生じる。

\textbf{F}=(\textbf{I}\times\textbf{B})l

この力の働く方向は、磁束密度が密から疎に行く向きである。
これをPythonプログラムを用いて説明する。

まず、導体棒に電流が流れた場合、右ネジの法則により、以下のような磁場が生じる。ただし、導体棒からの距離を$r$とする。

H=\frac{I}{2\pi r}

これをプログラムによって再現すると以下のようになる。

python lin_h.py

"""
画面垂直方向に伸びる導線の周辺に働く磁場について
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
plt.figure()


LX, LY=3,3

gridwidth=0.3 
X, Y= np.meshgrid(np.arange(-LX, LX, gridwidth), np.arange(-LY, LY,gridwidth)) 




#導線の位置
x1,y1=0,0 
z1=x1+1j*y1
I=10  #定常電流の値
R1=np.sqrt((X-x1)**2+(Y-y1)**2)
plt.plot(x1,y1,'o',color='blue')

#ベクトル関数の設定。定常電流が作る静磁場 F(U(x,y), V(x,y))


x=[]
y=[]

U=np.zeros((len(X),len(X)))
V=np.zeros((len(X),len(X)))
z=0

for i in range(len(X)):
    for k in range(len(X)):
        x=X[i][k]
        y=Y[i][k]
        z=x+1j*y
        z_1=z-z1
        H=I/(2*math.pi*abs(z_1))*((-1j)*z_1/abs(z_1))
        U[i][k]=H.real
        V[i][k]=H.imag
        # if abs(z_1)>0.3:
        #     plt.quiver(x,y,u,v,color='red',angles='xy',scale_units='xy', scale=4.5)

plt.streamplot(X,Y,U,V,color="red")
plt.xlim([-LX,LX])
plt.ylim([-LY,LY])

# グラフ描画
plt.grid()
plt.draw()
plt.savefig("線電流により生じる磁場.png")
plt.show()

これによって描かれる磁場は以下のようになる。ただし、電流は、画面表から裏方向である。

次に、フレミングの左手の法則について考察する。

上図に対して左から右に平等磁場をかけるプログラムを以下に示す。

python jiba_f.py

"""
画面垂直方向に伸びる導線の周辺に働く磁場について
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
plt.figure()


LX, LY=3,3

gridwidth=0.3 
X, Y= np.meshgrid(np.arange(-LX, LX, gridwidth), np.arange(-LY, LY,gridwidth)) 




#導線の位置
x1,y1=0,0 
z1=x1+1j*y1
I=10  #定常電流の値
R1=np.sqrt((X-x1)**2+(Y-y1)**2)
plt.plot(x1,y1,'o',color='blue')

#磁極による磁場
H_x=0.8

#ベクトル関数の設定。定常電流が作る静磁場 F(U(x,y), V(x,y))


x=[]
y=[]

U=np.zeros((len(X),len(X)))
V=np.zeros((len(X),len(X)))
z=0

for i in range(len(X)):
    for k in range(len(X)):
        x=X[i][k]
        y=Y[i][k]
        z=x+1j*y
        z_1=z-z1
        H=I/(2*math.pi*abs(z_1))*((-1j)*z_1/abs(z_1))
        #導線による磁場と磁極による磁場の合成
        U[i][k]=H.real+H_x
        V[i][k]=H.imag
        # if abs(z_1)>0.3:
        #     plt.quiver(x,y,u,v,color='red',angles='xy',scale_units='xy', scale=4.5)

plt.streamplot(X,Y,U,V,color="red")
plt.xlim([-LX,LX])
plt.ylim([-LY,LY])

# グラフ描画
plt.grid()
plt.draw()
plt.savefig("線電流により生じる磁場.png")
plt.show()

これを実行すると以下のようになる。

この図を見るに、磁束密度が密な上部から磁束密度が疎な下部に向けて力が働くということが推測できる。これがフレミングの左手の法則の意味である。

まとめ

今回はフレミングの左手の法則について、紹介してPythonによって図示することを試みた。これによって、電磁力は磁束密度が密な部分から疎の部分に働くということが推定することができるということが分かった。