はじめに
変圧器のタップ切り替えによる電圧不安定現象はノーズカーブを用いて説明することができる。そこで今回は、受電電力から受電端電圧を導出する関数を用いて、受電端電圧が与えられているという条件のもとで受電電力の有効電力成分を方程式を解くことでノーズカーブを描写する。ただし、方程式の解の近似値を求めるために、本記事ではニュートンラフソン法を用いるものとする。
モデル
方程式の導出
以下のような短距離送電モデルを考える。
受電端電力を$\dot{S_r}=P_r+jQ_r$とおくと、
\dot{S_r}=V_r\bar{I}
と表すことができる。したがって、
\bar{I}=\frac{\dot{S_r}}{V_r}=\frac{P+jQ}{V_r}
となる。ここで、両辺の共役複素数を取ると以下のようになる。
ただし、$V_r$は位相の基準であるとする。（つまり実数なので共役を取っても実数のままで変化しない）
\dot{I}=\frac{P-jQ}{V_r}=\frac{P-j(Ptan\theta)}{V_r}
ただし、$\theta$は負荷の力率角であるとし、解析中は一定の値であるとする。
次に、キルヒホッフの法則より、
\dot{V_s}=V_r+jx\dot{I}
となることから、
\dot{V_s}=V_r+jx(\frac{P-jQ}{V_r})=V_r+jx\frac{P-j(Ptan\theta)}{V_r}
と$\dot{V_s}$を表現することができる。ここで、送電端電圧と受電端電圧の位相差を$\delta$として、$V_s$を一定の値とすると以下のことが成立する。
\dot{V_s}=V_s e^{j\delta}
ゆえに、
|\dot{V_s}|-V_s=0
これは、複素数平面上では円を表す。
以上の考察より以下の方程式が成立する。
f(P)=|V_r+jx(\frac{P-jPtan\theta}{V_r})|-V_s=0
したがって、$V_r$が与えられている場合、$P$に対する方程式$f(P)=0$を解くことができれば$P$が経験上一意に決まるので、ノーズカーブを描写することができると考えられる。
ここで、上記の$P$に対する方程式を解く方法を考える。
今回は、二分法とは異なり、初期解を一つ定めるだけで解を推定することができるニュートンラフソン法を用いて解くこととする。
ニュートンラフソン法について
ここで、簡単にニュートンラフソン法についておさらいする。
初期解付近で単調な関数(初期解付近に解がただ一つしか存在しないような関数)の方程式の解を推定することを考える。つまり、以下のような方程式である。
g(x)=0
ここで、以下のような漸化式を考える。ただし、$x_1$は初期解であり、人為的に決定する。
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}
という数列を考えたとき、$x_n$は$n$が十分に大きければ方程式の解とほとんど等しくなる。
プログラム
そこで、以下のようなプログラムを作成した。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import japanize_matplotlib
h=1.0*10**-10
n=100
x=1.0
r=0.0
V_s=1.0
theta=math.pi*60/180
def equation(P,V_r):
Q=P*np.tan(theta)
I=(P-1j*Q)/V_r
V_s2=V_r+1j*x*I
return abs(V_s2)-V_s
# V_r=0だと、Iの分母が0になるので、V_r=0.01からスタート
V_r_array=np.linspace(0.01,1,n)
P_array=[]
for i in range(n):
V_r=V_r_array[i]
# ニュートンラフソン法
# 初期値P=1.0[p.u.]
P=1.0
while abs(equation(P,V_r))>1.0*10**-13:
diff_equation = (equation(P+h,V_r)-equation(P,V_r))/h
P=P-equation(P,V_r)/diff_equation
#print(x)
P_array.append(P)
plt.title("ノーズカーブ")
plt.xlabel("P")
plt.ylabel("V_r")
plt.plot(P_array,V_r_array)
plt.savefig("ノーズカーブ_ニュートンラフソン法.png")
plt.show()
このプログラムを実行すると以下のようになる。
このグラフの上半分は電圧安定状態の範囲であり、下半分は電圧不安定の範囲である。
例えば、グラフの上半分を満たすような負荷を接続して、$P$を増やす、つまり重負荷にした場合を考える。その場合、上半分の領域では、受電端電圧$V_r$が低下するので、結果として$P$も低下する。このように、$V_r,P$に対して負のフィードバックが働くため、結果として安定になる。この考え方は制御工学を参照されたい。
まとめ
今回は、複素数とニュートンラフソン法を用いて、受電電力と受電端電圧の関係式（高次方程式）を解析することでノーズカーブを描写することを試みた。その結果、$V_r>0$の範囲において見事にノーズカーブを描写することができるということが分かった。この高次方程式は、複素数の絶対値と円の関係を用いた式であり、応用すると電力円線図も描写することができる。また、後半ではそのノーズカーブは、上半分の領域は電圧安定領域を示していて、下半分は電圧不安定領域を示している。これは、変圧器のタップ切り替えによる電圧不安定現象の基本的な原理であることを負のフィードバックと合わせて説明した。