相加・相乗平均のグラフ化

はじめに

相加・相乗平均は、不等式の証明などに多用される。証明方法としては、左辺-右辺が0以上になることを示すのだが、それには、実数の2乗は0以上であるという条件を使用する。そこで今回は、3パターンの証明方法で相加・相乗平均を証明した後に、Pythonを用いてグラフ化することで、視覚的に不等式が成立することを体感することを目的とする。　

導入

以下に相加・相乗平均の定義を述べる。

まず、$a>0,b>0$としたとき以下の式が成立する。

\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}

ただし$a=b$のとき等号が成立する。

この式では、分数がややこしいので、以下の形に変形したものが多用される。

a+b\ge 2 \sqrt{ab}

証明

今回は、以下の3パターンで考えた。ただし、いずれの証明も実数の2乗は0以上であるという原則を用いる。

2変数関数

左辺から右辺を引くことにより証明することができる。ただし、a,bは正なので、$\sqrt{a},\sqrt{b}$は実数の領域に存在する。

(a+b)-2\sqrt{ab}=\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2-2\sqrt{ab}= (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0

1つの変数

左辺から右辺を引いたものをaで除する。これによって、$\sqrt{\frac{b}{a}}$という一つの変数によって$f(a,b)$の正負が決定される。($a>0$より)
したがって、以下のようになる。

f(a,b)=(a+b)-2\sqrt{ab}=a(1+\frac{b}{a}-2\sqrt{\frac{b}{a}})=a(1-\sqrt{\frac{b}{a}})^2\ge 0

ただし、等号成立は$a=b$のとき

微分法

$b$を定数とし$a$を変数として$f(a,b)$を$a$で微分する。

\frac{df}{da}=1-\sqrt{\frac{b}{a}}

ここで、以下の場合について考える。

$0<a<b$のとき

\frac{df}{da}<0

$a\ge b$のとき

\frac{df}{da}\ge 0

したがって、$a=b$のときこの関数は最小値を取ることが分かる。したがって、

f(a,b)\ge f(a=b,b)=0

グラフ化

さて、今度は$f(a,b)=(a+b)-\sqrt{ab}$を$a,b,f$空間に描写してみよう。

　python souka_soujou.py

import matplotlib.pyplot as plt
import math 
import numpy as np
import japanize_matplotlib

n=100
a=np.linspace(0,10,n)
b=np.linspace(0,10,n)

a,b= np.meshgrid(a,b)

plt.contourf(a,b,(a+b)/2-(a*b)**0.5)
plt.colorbar()
plt.show()

これを実行すると以下のようなグラフが出力される。

$f(a,b)$ は$a,b$に関して対称なので、$a=b$に関して対称である。また、そのとき最小値0を取ることも分かる。

一方で、3次元のグラフを描くプログラムは以下の通りである。

python souka_soujou_3d.py

import matplotlib.pyplot as plt
import math 
import numpy as np
import japanize_matplotlib
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

n=100
a=np.linspace(0,10,n)
b=np.linspace(0,10,n)

a,b= np.meshgrid(a,b)

c=(a+b)/2-(a*b)**0.5

surface = ax.plot_surface(a,b,c, rstride=1, cstride=10, cmap='jet', alpha=0.4)
# カラーバーを設定
fig.colorbar(surface, ax=ax, shrink=0.5)
plt.show()

これを実行すると以下のようなグラフが作成される。

これは、ある意味で放物線に似ている。ということを考えると、相加・相乗平均はある意味で、$y=x^2$の最小値が(0,0)であるということを3次元に拡張したモデルであると考えることができるかもしれない。

まとめ

今回は、相加・相乗平均を理解するために公式の証明をした後、グラフ化することを試みた。結果、左辺引く右辺を描写した場合、$a=b$で対称のグラフが描けた。また、最小値は0以上であることも分かった。ただし、相加・相乗平均は、$a>0,b>0$という前提の上でしか議論できないことに注意したい。