ARモデルで信号を近似するたびにゲインをどうするか悩んでいる気がするので,
備忘録をかねてここに載せておく事にした.
信号x(n)に対するp次の線形予測信号$\hat{x}(n)$と誤差信号$e(n)$は以下の様に表現される.
ここで，上述の式に対してZ変換を適用すると
次に，以上の結果をもとにARモデルによって信号$X(z)$を近似する事を考える．
ここで，合成フィルタを$H(z)$，合成信号を$Y(z)$，励起信号を$\tilde{E}(z)$とすると，以下の関係が成立する．
このとき，$\tilde{E}(z) = E(z)$であるならば，$Y(z) = X(z)$である．
したがって，ホワイトノイズやパルス列など誤差信号以外を励起信号として用いる場合においても，励起信号のエネルギーをE(z)のエネルギーと等しくすることにより，より良好な近似が可能となる．
ここで，分散が1であるホワイトノイズを励起信号として用いる場合を考える．すると，合成フィルタH(z)は以下の様に修正される．なお，以下の式においてGは合成フィルタのゲインを表す．
上述の結果より，合成フィルタのゲインは誤差信号の振幅と対応する事から，以下の関係が成立する．なお，$r_{xx}$は$x(n)$の自己相関関数である．
通常，自己相関関数$r_{xx}(n)$はレビンソン-ダーヴィンアルゴリズムを用いる際に既に計算済みである．
したがって，その計算結果を利用する事が可能である．