TL; DR

tsqlコマンドでは接続できるが、Rubyのtiny_tds gemでは接続できない状況。
freetdsをyumでインストールし直し、gemもインストールし直したら接続できるようになった。
自分でビルドしたfreetdsが原因だった模様。

Rubyで出ていたメッセージは：

/home/ao/tds/vendor/ruby/2.3.0/gems/tiny_tds-1.3.0/lib/tiny_tds/client.rb:53:in `connect': Adaptive Server connection failed (XXXXXXXXXXX.database.windows.net:1433) (TinyTds::Error)
        from /home/ao/tds/vendor/ruby/2.3.0/gems/tiny_tds-1.3.0/lib/tiny_tds/client.rb:53:in `initialize'
        from 1.rb:10:in `new'
        from 1.rb:10:in `<main>'

環境

CentOS 7.3.1611
Ruby 2.3.1p112
freetds-devel-0.95.81-1.el7.x86_64（正常動作）
freetds-0.95.81-1.el7.x86_64（正常動作）
freetds-1.00.27（動作しなかった）
tiny_tds 1.3.0

動作しなかったfreetdsのインストール方法

https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/sql-database/sql-database-connect-query-ruby
のUbuntu用の説明と同様、freetds-1.00.27.tar.gzをビルドした。

正常動作したfreetdsのインストール方法

# yum install epel-release
# yum install freetds freetds-devel