当たり前といえば当たり前かもしれないですが、設計時点で気が付かなかったのでメモ。
非同期実行の例としてS3, API Gatewayを想定しています。青い矢印は正常に疎通が取れます。
なぜこうなるのか
非同期実行でLambdaへ処理が流れてきたときに、Lambda内で並列的に同時実行されるためだと思います。
要するに、流れてきたときには処理A, 処理B, 処理C, ...という順序で流れてきたものが、再試行後の失敗時にはその順序が(例えば) 処理C, 処理A, 処理B, ...と変わってしまっている可能性が高いためです。
そのためFIFOキューの特徴である順序を保つということが保証できなくなり、仕様上送信できないのではないかと思われます。
※ですが、console上ではFIFOキューをDLQとして設定できてしまうので要注意