概論
座標(x,y)は、複素数で $x+jy$ で表すことできる。
$x+jy$ から $\theta$ [rad]回転させるには、 $e^{jθ}$ をかければよい。
$e^{jθ}=cosθ+jsinθ$ である。
また、
\begin{align}
&cosθ+jsinθ \equiv \;\;
\end{align}
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}
である。
したがって、
複素数の場合は $(cosθ+ jsinθ)$ を、
行列の場合は
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ
\end{pmatrix}
を用いればよい。
※3次元の場合は、クォータニオン（四元数）や行列を使って回転させる。
虚数単位
$x^2+1=0$を解くと、$x=±\sqrt-1$となる。
この$\sqrt-1$を虚数単位として、jで表す。
$j^2 = -1$となる。
(-1)をかけることは反時計回りに180度回転である。
$j^2 = -1$であるから、jをかけることは反時計回りに90度回転である。
jを使うことで、2次元を扱うことができる。
1に当たる行列
5 × 1 = 5である。
行列の場合で考えると
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
である。
ゆえに、次の行列は1に相当する。
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
-1に当たる行列
(-1)×1 = (-1)である
行列の場合で考えると
(-1)
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
である。
ゆえに、次の行列は(-1)に相当する。
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
jに当たる行列
$j×j = (-1)$である。
行列の場合で考えると
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
である。
ゆえに、次の行列は$j$に相当する。
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
複素数
複素数$x+jy$は、$x×1;+;y×j$である。
行列で考えると
x
\times
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
+ \; y
\times
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x & -y \\
y & x
\end{pmatrix}
である。
ゆえに、次の行列は複素数$x+jy$に相当する。
\begin{pmatrix}
x & -y \\
y & x
\end{pmatrix}
回転の例
例1
$2+j3$ を45度反時計回りに回転させる。
＜計算＞
(1) 45度
180度がπ [rad]だから、45度は$\frac{4}{π}$ [rad]である。
(2) 回転させる
$(2+j3) \times ; e^{\frac{4}{π}}$
$=;(2+j3) \times (cos({\frac{4}{π}}) + jsin({\frac{4}{π}}))$
$\fallingdotseq -0.71 + j3.5$
例2
$2+j3$ を60度反時計回りに回転させる。
＜計算＞
(1) 60度
180度がπ [rad]だから、60度は$\frac{3}{π}$ [rad]である。
(2) 回転させる
$(2+j3) \times ; e^{\frac{3}{π}}$
$=;(2+j3) \times (cos({\frac{3}{π}}) + jsin({\frac{3}{π}}))$
$\fallingdotseq -1.6 + j3.2$
