textareaを改行に応じて自動で高さが変わるようにする方法

入力イベント時に、テキストエリア内の文字の行高さ×改行文字数でheightを変えてやることで実装できます。
高さの最大限を指定したい場合は単純にmaxHeightを指定すればOKです。

サンプルコード

<textarea id="textarea" placeholder="改行で高さが変わる"></textarea>

#textarea {
  width: 200px;
  max-height: 200px;
  padding: 8px;
  line-height: 20px;
}

$(function() {
  var $textarea = $('#textarea');
  var lineHeight = parseInt($textarea.css('lineHeight'));
  $textarea.on('input', function(e) {
    var lines = ($(this).val() + '\n').match(/\n/g).length;
    $(this).height(lineHeight * lines);
  });
});

動作デモ（jsfiddle)

こちらからご覧ください
https://jsfiddle.net/maiko_ampersand/8asbLrn9/