圏論

【圏論メモ】各点Kan拡張と米田埋込にまつわるある定理の証明

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命題

$\require{AMScd}$ $\mathcal{F}:\textbf{C}\rightarrow\textbf{D}$ に沿った$\mathcal{E}:\textbf{C}\rightarrow\textbf{U}$ の各点 Kan 拡張 $(\mathcal{F^\dagger E}, \eta)$ が与えられている:

\begin{CD}
\textbf{D} @>\mathcal{F^\dagger E}>> \textbf{U} \\
@A\mathcal{F}AA \phantom{\eta}\Big\Uparrow\eta @VV\mathcal{id}_\textbf{U}V \\
\textbf{C} @>\mathcal{E}>> \textbf{U} \\
\end{CD}

このとき、$d \in \textbf{Ob(D)}, u \in \textbf{Ob(U)}$ について以下が成り立つ:

\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u) \simeq \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u))

定義

Kan 拡張

$\textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{U}$ を圏、$\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{D}, \mathcal{E}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{U}$ を関手とする。
$\mathcal{F}$ に沿った $\mathcal{E}$ の左 Kan 拡張とは、

関手 $\mathcal{F^\dagger E}:\textbf{D} \rightarrow \textbf{U}$ と
自然変換 $\eta : \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{F^\dagger E\circ F}$

の組で、任意の組 $(\mathcal{S}:\textbf{D} \rightarrow \textbf{U}, \theta: \mathcal{E}
\rightarrow \mathcal{S \circ F})$ に対してある自然変換 $\tau: \mathcal{F^\dagger E} \rightarrow \mathcal{S}$ が存在し、$\theta = \tau_\mathcal{F} \circ \eta$ が成り立つもののことである。
自然変換の向きを逆にした右 Kan 拡張もあるが省略。以下、左 Kan 拡張のことを単に Kan 拡張と書く。

各点 Kan 拡張

$\textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{U}$ を圏、$\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{D}, \mathcal{E}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{U}$ を関手とする。
各 $d \in \textbf{Ob(D)}$ に対し 関手 $\mathcal{E}\circ \pi_1:\mathcal{F}\downarrow d \xrightarrow{\pi_1} \textbf{C} \xrightarrow{\mathcal{E}} \textbf{U} $ が余極限を持つならば、$\mathcal{F}$ に沿った $\mathcal{E}$ の Kan 拡張 $\mathcal{F^\dagger E}$ が存在し、

\mathcal{F^\dagger E}(d) \simeq \textrm{colim}(\mathcal{E}\circ\pi_1)

が成り立つ。
証明は略。こうして定義された Kan 拡張のことを各点 Kan 拡張と言う。

コンマ圏

関手 $\mathcal{F}: \textbf{X} \rightarrow \textbf{D}, \mathcal{G}: \textbf{Y} \rightarrow \textbf{D}$ に対し、次のような圏をコンマ圏と呼び、 $\mathcal{F}\downarrow\mathcal{G}$ と書く。

対象: $x \in \textbf{Ob(X)}, y \in \textbf{Ob(Y)}, f: \mathcal{F}(x) \rightarrow \mathcal{G}(y) \in \textbf{Hom(D)}$ の組 $(x, y, f)$
射: $(x, y, f) \rightarrow (x', y', f')$ は、 $g_1: x \rightarrow x' \in \textbf{Hom(X)}, g_2: y \rightarrow y' \in \textbf{Hom(Y)}$ の組 $(g_1, g_2)$ で下の図式が可換となるもの

\begin{array}{ccccc}
in \textbf{X} & in \textbf{D} &&& in \textbf{Y} \\
x & \mathcal{F}(x) & \xrightarrow{f} & \mathcal{G}(y) & y \\
{}_{g_1}\Bigg\downarrow \phantom{{}_{g_1}} & {}_{\mathcal{F}(g_1)}\Bigg\downarrow \phantom{{}_{\mathcal{F}(g_1)}} & \circlearrowright & \phantom{{}_{\mathcal{F}(g_2)}}\Bigg\downarrow {}_{\mathcal{F}(g_2)} & \phantom{{}_{g_2}}\Bigg\downarrow {}_{g_2} \\
x' & \mathcal{F}(x) & \xrightarrow{f'} & \mathcal{G}(y') & y'\\
\end{array}

$\pi_1: \mathcal{F} \downarrow \mathcal{G} \rightarrow \textbf{X}$ 及び $\pi_2: \mathcal{F} \downarrow \mathcal{G} \rightarrow \textbf{Y}$ を、$X, Y$ への射影として定義する。

関手 $\textbf{1} \rightarrow \textbf{D}$ で唯一の対象を $d \in \textbf{Ob(D)}$ に移すものを $d$ と同一視し、 $\mathcal{G} = d$ と置いたものを $\mathcal{F}\downarrow d$ と書く。

命題の式に関する考察

\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u) \simeq \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u))

まずこいつがわかりづらいので細かく分解して見ていく。まずは比較的簡単な左辺から。

\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u)

これは圏 $\textbf{U}$ の対象 $\mathcal{F^\dagger E}(d)$ から $u$ への射の集まりである。これが集合なのかについては後述。

続いて右辺。

\textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u))

こちらも、何かから何かへの射の集まりのようだ。

\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d)

$\mathcal{F}$ は $\textbf{C}$ から $\textbf{D}$ への関手であったから、「$-$」 の部分には $\textbf{C}$ の対象が入る。試しに $c \in \textbf{Ob(C)}$ を入れてみると、

\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d)

これは $\textbf{D}$ 上の対象 $\mathcal{F}(c)$ から $d$ への射の集まりで、 $\textbf{Set}$ の対象であることが要請されている。(この時点で、参考にした資料には書かれていなかったが $\textbf{D}$ が局所小圏だということになる)。
次に $f: c \rightarrow c'$ に対しては、

\begin{array}{cccc}
\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(f), d): & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c'), d) & \longrightarrow & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d)\\
& g & \longmapsto & g \circ \mathcal{F}(f)
\end{array}

が対応する。ドメインとコドメインが入れ替わっており、これが反変関手であることがわかる。
まとめると、 $\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d)$ は $\textbf{C}^\textrm{op}$ から $\textbf{Set}$ への関手であり、関手圏 $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の対象となる。

\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d) \in \textbf{Ob}(\textbf{Set}^\textrm{op})

$\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)$ も同様に $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の対象であり、 $\textbf{U}$ が局所小圏であることを暗に使っている。
すると先程集合かどうかわからなかった左辺が集合である必要があり、左辺が集合でそれと同型であることが今回の定理によって証明されるので、右辺も集合であることになる。

なお $\textbf{C}$ が局所小圏である必要があるかはわからない。もしかしたら証明のどこかで暗に使ってしまっているかもしれない。

証明

2つの写像

\begin{array}{rlcl}
\varphi: & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u) & \longrightarrow 
 & \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u))\\
\psi: & \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)) & \longrightarrow & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u)
\end{array}

を定義し、

\begin{array}{ccl}
\psi \circ \varphi & = & id_{\textrm{Hom}_\textbf{U}(...)}\\
\varphi \circ \psi & = & id_{\textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(...)}
\end{array}

を示す。

写像 φ の定義

\varphi: \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u) \longrightarrow 
 \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u))

を定義したい。そのためにまず $\textbf{U}$ 上の射

p: \mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u

を一つ固定する。$\varphi(p)$ は $\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}$ の射、つまり自然変換であるから、 $c \in \textbf{Ob(C)}$ を一つ固定して、

\varphi(p)_c: \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c), u)

を定義する必要がある。そのために、 $\textbf{D}$ 上の射

f: \mathcal{F}(c) \rightarrow d

に対して

\varphi(p)_c(f): \mathcal{E}(c) \rightarrow u

を定義出来れば良い。手持ちのカードは $p, c, f$ の3つだ。

まず、 $f$ を関手 $\mathcal{F^\dagger E}(d)$ で $\textbf{U}$ 上に移す。

\begin{array}{rrcr}
f\phantom{)}: & \mathcal{F}\phantom{)}(c) & \rightarrow & d\phantom{)}\\
\mathcal{F^\dagger E}(f): & (\mathcal{F^\dagger E}\circ\mathcal{F})(c) & \rightarrow & \mathcal{F^\dagger E}(d)
\end{array}

$\mathcal{F^\dagger E}\big(\mathcal{F}(c)\big) = (\mathcal{F^\dagger E}\circ\mathcal{F})(c)$ に注意。 これは $p$ と合成出来て、

p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f): (\mathcal{F^\dagger E}\circ\mathcal{F})(c) \xrightarrow{\mathcal{F^\dagger E}(f)} \mathcal{F^\dagger E}(d) \xrightarrow{p} u

さらに $\mathcal{F^\dagger E}$ は Kan 拡張であったから、自然変換

\eta: \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{F^\dagger E}\circ\mathcal{F}

が存在する。すると $\eta_c$ が右から合成出来て、

p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \eta_c: \mathcal{E}(c) \xrightarrow{\eta_c} (\mathcal{F^\dagger E}\circ\mathcal{F})(c) \xrightarrow{\mathcal{F^\dagger E}(f)} \mathcal{F^\dagger E}(d) \xrightarrow{p} u

これで、 $\mathcal{E}(c) \rightarrow u$ の射が出来た。

\begin{array}{ccc}
\varphi(p)_c : & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d) & \longrightarrow & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c), u) \\
& f & \longmapsto & p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \eta_c\\
\end{array}

さて $\varphi(p)$ が自然変換であることを確認するために、 $g: c' \rightarrow c$ に対し、

\begin{array}{ccccc}
in \textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & in \textbf{Set} \\
c & c & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d) & \xrightarrow{\varphi(p)_c} & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c), u) \\
{}_g\Bigg\uparrow\phantom{{}_g} & {}_g\Bigg\downarrow\phantom{{}_g} & {}_{\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(g), d)}\Bigg\downarrow\phantom{{}_{\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(g), d)}} & & \phantom{{}_{\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(g), u)}}\Bigg\downarrow{}_{\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(g), u)}\\
c' & c' & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c'), d) & \xrightarrow{\varphi(p)_{c'}} & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c'), u)\\
\end{array}

これが可換であることを見る。 $\forall f \in \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d)$ に対し、

\begin{array}{rcl}
\big(\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(g), u) \circ \varphi(p)_c \big)(f) & = & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(g), u) \big( \varphi(p)_c(f)\big) \\
& = & \varphi(p)_c(f) \circ \mathcal{E}(g) \\
& = & \big(p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \eta_c \big) \circ \mathcal{E}(g)\\
& = & p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \big( \eta_c \circ \mathcal{E}(g) \big)\\
& = & p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \Big( \big( \mathcal{F^\dagger E}\circ \mathcal{F}\big)(g) \circ \eta_c' \Big) \\
& = & p \circ \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \Big( \mathcal{F^\dagger E}\big(\mathcal{F}(g)\big) \circ \eta_c' \Big) \\
& = & p \circ \Big( \mathcal{F^\dagger E}(f) \circ \mathcal{F^\dagger E}\big(\mathcal{F}(g)\big) \Big) \circ \eta_c' \\
& = & p \circ \mathcal{F^\dagger E}\big( f \circ \mathcal{F}(g) \big) \circ \eta_c' \\
& = & \varphi(p)_{c'}\big( f \circ \mathcal{F}(g) \big)\\
& = & \varphi(p)_{c'}\big( \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(g), d)(f) \big)\\
& = & \big( \varphi(p)_{c'} \circ \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(g), d) \big)(f)
\end{array}

$f$ は任意であったから、

\textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(g), u) \circ \varphi(p)_c = \varphi(p)_{c'} \circ \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(g), d)

したがって図は可換であり、 $\varphi(p)$ は自然変換である。

ここまでで、 $p: \mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u$ に対し自然変換 $\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)$ を対応させることができた。この対応が $\varphi$ である。

$\require{AMScd}$

写像 ψ の定義

\psi: \textrm{Hom}_{\textbf{Set}^{\textbf{C}^\textrm{op}}}(\textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d), \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)) \longrightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{F^\dagger E}(d), u)

を定義したい。そのために、

\alpha: \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)

を 1 つ固定して、対応する射 $\mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u$ を求めたい。それには、$\mathcal{F^\dagger E}$ が各点 Kan 拡張であること、つまり $\mathcal{F^\dagger E}(d)$ がある関手の余極限であることを利用する。

\begin{CD}
\textbf{1} @>d>> \textbf{D} @>\mathcal{F^\dagger E}>> \textbf{U} \\
@A\pi_2AA @A\mathcal{F}AA @VV\mathcal{id}_\textbf{U}V \\
\mathcal{F} \downarrow d @>\pi_1>> \textbf{C} @>\mathcal{E}>> \textbf{U} \\
\end{CD}
\mathcal{F^\dagger E}(d) \simeq \textrm{colim}(\mathcal{E}\circ\pi_1)

$u$ が同じ図式 $\mathcal{E}\circ\pi_1:\mathcal{F}\downarrow d \rightarrow \textbf{U}$ からの錐であることが言えれば、仲介射 $\mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u$ が定まる。これが求めたい射である。

$u$ が $\mathcal{E}\circ\pi_1$ からの射であることを言うために、$(c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d)$ を 1 つ取る。

c \in \textbf{Ob(C)}\\
f: \mathcal{F}(c) \rightarrow d

に注意。$\alpha$ は自然変換であったから、 $c$ に対して

\alpha_c: \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c), u)

という写像が定まる。 $f$ はこの値域に含まれるので、

\alpha_c(f): \mathcal{E}(c) \rightarrow u\\

$\mathcal{E}(c) = (\mathcal{E}\circ\pi_1)(c, f)$ であるから、図式 $\mathcal{E}\circ\pi_1$ から $u$ への射が定まった。次にこれが錐になっていることを見ていく。そのためには $\mathcal{F}\downarrow d$ の射

g: (c, f) \rightarrow (c', f')

について、以下の図式が可換であることを確認すれば良い。

\begin{array}{ccc}
in \mathcal{F}\downarrow d & in \textbf{U} \\
(c, f) & \mathcal{E}(c) & \xrightarrow{\alpha_c(f)} & u \\
{}_g\Bigg\downarrow\phantom{{}_g} & {}_{(\mathcal{E}\circ\pi_1)(g)}\Bigg\downarrow\phantom{{}_{(\mathcal{E}\circ\pi_1)(g)}} & & \phantom{{}_{id_u}}\Bigg\downarrow{}_{id_u} \\
(c', f') & \mathcal{E}(c') & \xrightarrow{\alpha_{c'}(f')} & u \\
\end{array}

$g$ は $\mathcal{F}\downarrow d$ の射だから、次が可換図式となる。

\begin{array}{ccc}
in \mathcal{F}\downarrow d & in \textbf{D} \\
(c, f) & \mathcal{F}(c) & \xrightarrow{f} & d \\
{}_g\Bigg\downarrow\phantom{{}_g} & {}_{(\mathcal{F}\circ\pi_1)(g)}\Bigg\downarrow\phantom{{}_{(\mathcal{E}\circ\pi_1)(g)}} & \circlearrowright & \phantom{{}_{id_d}}\Bigg\downarrow{}_{id_d} \\
(c', f') & \mathcal{F}(c') & \xrightarrow{f'} & d \\
\end{array}

それから $\alpha$ が自然変換だから、次も可換図式である。

\begin{array}{ccc}
in \textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & in \textbf{D} \\
c' & c' & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c'), d) & \xrightarrow{\alpha_{c'}} & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c'), u) \\
{}_{\pi_1(g)}\Bigg\uparrow\phantom{{}_{\pi_1(g)}} & {}_{\pi_1(g)}\Bigg\downarrow\phantom{{}_{\pi_1(g)}} & {}_{\textrm{Hom}_\textbf{D}((\mathcal{F}\circ\pi_1)(g), d)}\Bigg\downarrow\phantom{{}_{\textrm{Hom}_\textbf{D}((\mathcal{F}\circ\pi_1)(g), d)}} & \circlearrowright & \phantom{{}_{\textrm{Hom}_\textbf{U}((\mathcal{E}\circ\pi_1)(g), u)}}\Bigg\downarrow{}_{\textrm{Hom}_\textbf{U}((\mathcal{E}\circ\pi_1)(g), u)} \\
c & c & \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(c), d) & \xrightarrow{\alpha_{c}} & \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(c), u) \\
\end{array}

したがって、

\begin{array}{rcl}
\alpha_{c'}(f') \circ \big(\mathcal{E}\circ\pi_1\big)(g) & = & \textrm{Hom}_\textbf{U}\big((\mathcal{E}\circ\pi_1)(g), u\big)\big(\alpha_{c'}(f')\big)\\
& = & \Big(\textrm{Hom}_\textbf{U}\big((\mathcal{E}\circ\pi_1)(g), u\big) \circ \alpha_{c'}\Big)(f')\\
& = & \Big(\alpha_{c} \circ \textrm{Hom}_\textbf{D}\big((\mathcal{F}\circ\pi_1)(g), d\big)\Big)(f')\\
& = & \alpha_c\Big(\textrm{Hom}_\textbf{D}\big((\mathcal{F}\circ\pi_1)(g), d\big)(f')\Big)\\
& = & \alpha_c\Big(f' \circ (\mathcal{F}\circ\pi_1)(g) \Big) \\
& = & \alpha_c(f)
\end{array}

以上により、 u と 射 $\alpha_c(f) \big((c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d) \big)$ は $\mathcal{E}\circ\pi_1$ からの錐となっている。

$\mathcal{F^\dagger E}(d)$ が余極限であることから、仲介射 $h: \mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u$ が存在する。

$\alpha: \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)$ に対し、 $h: \mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u$ を対応させることが出来た。この対応が $\psi$ である。

ψ∘φ = id の証明

p: \mathcal{F^\dagger E}(d) \rightarrow u

を任意に取り、

(\psi\circ\varphi)(p) = p

を示す。そのためには、$p$ が $\mathcal{E}\circ\pi_1$ からの錐 $u, \{\varphi(p)_c(f)\}_{(c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d)}$ に対する仲介射になっていることを示せば良い。そのためには、任意の $(c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d)$ について、

\begin{CD}
\mathcal{F^\dagger E}(d) @>p>> u\\
@A\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_cAA @Aid_uAA\\
\mathcal{E}(c) @>\varphi(p)_c(f)>> u
\end{CD}

が可換であることを見れば良い。なお左端の $\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_c: \mathcal{E}(c) \rightarrow \mathcal{F^\dagger E}(d)$ は、

\begin{array}{ccrcr}
& & \mathcal{F}\phantom{)}(c) & \xrightarrow{\phantom{\mathcal{F^\dagger E}(}f\phantom{)}} & d \phantom{)} & in \textbf{D}\\
\mathcal{E}(c) & \xrightarrow{\eta_c} & (\mathcal{F^\dagger E} \circ \mathcal{F})(c) & \xrightarrow{\mathcal{F^\dagger E}(f)} & \mathcal{F^\dagger E}(d) & in \textbf{U}
\end{array}

から来ている。$p\circ\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_c$ はまさに $\varphi(p)_c(f)$ の定義そのものであり、

\varphi(p)_c(f) = p\circ\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_c

が成り立つ。よって上手は可換であり、 $(c, f)$ は任意であったから、$p$ は仲介射となっている。したがって今度は $\psi$ の定義から、

\psi(\varphi(p)) = p

が言える。 $p$ は任意だったから、$\psi\circ\varphi$ は恒等射である。

φ∘ψ = id の証明

\alpha: \textrm{Hom}_\textbf{D}(\mathcal{F}(-), d) \rightarrow \textrm{Hom}_\textbf{U}(\mathcal{E}(-), u)

を任意に取り、

(\varphi \circ \psi)(\alpha) = \alpha

を示す。組 $u, {\alpha_c(f)}_{(c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d)}$ が $\mathcal{E}\circ\pi_1$ からの錐になっていることから、$\forall (c, f) \in \textbf{Ob}(\mathcal{F}\downarrow d)$ について次の可換図式が成り立つ。

\begin{CD}
\mathcal{F^\dagger E}(d) @>\psi(\alpha)>> u\\
@A\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_cAA @Aid_uAA\\
\mathcal{E}(c) @>\alpha_c(f)>> u
\end{CD}

したがって、

\begin{array}{rcl}
\alpha_c(f) & = & \psi(\alpha)\circ\mathcal{F^\dagger E}(f)\circ\eta_c\\
& = & \varphi\big(\psi(\alpha)\big)_c(f)\\
& = & (\varphi \circ \psi)(\alpha)_c(f)
\end{array}

$(c, f)$ は任意だったから、

\alpha = (\varphi \circ \psi)(\alpha)

$\alpha$ は任意だったから、 $\varphi \circ \psi$ は恒等射である。

以上により、題意は示された。
題意なんだったっけ。まぁいいや。