命題
表現可能関手は余極限を保存する
(2017/12/06 追記)
この記事はもともと表現可能関手 $\textrm{Hom}(A, -)$ が極限を保存することの証明を書いたものであった。が、圏論を勉強していく中で、$\textrm{Hom}(A, -)$ よりも $\textrm{Hom}(-, A)$ の方が重要であり頻出であることがわかってきたので、矢印の向きをバスっと書き換えた。書き損じがあるかもしれないのでもし見つけたらコメント or 編集リクエストをいただけると助かります m(__)m
定義
表現可能関手
共変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{Set}$ が表現可能であるとは、
\exists A \in \textbf{C}, \textrm{Hom}(A, -) \cong \mathcal{F}
を満たすことを言う。
反変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{Set}$ が表現可能であるとは、
\exists A \in \textbf{C}, \textrm{Hom}(-, A) \cong \mathcal{F}
を満たすことを言う。
余極限を保存する
反変関手 $\mathcal{F}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{D}$ が図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ の余極限を保存するとは、$\mathcal{D}$ の余極限 $(L, \varphi)$ に対し $(\mathcal{F}L, \mathcal{F}\varphi)$ が $\mathcal{FD}$ の極限になることを言う。つまり、
\mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
が成り立つことを言う。$\mathcal{F}$ が反変関手であるために余極限→極限に変化していることに注意
表記法について
余極限の可換図式
$\mathcal{D}$ からの錐 (X, x) について、次のような可換図式が出てくることがある。
\begin{array}{ccc}
\textrm{colim}\mathcal{D} & \longrightarrow & X\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \nearrow_{x}\\
\mathcal{D}
\end{array}
$\mathcal{D}$ は図式(関手)、 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ 及び $X$ は圏 $\textbf{C}$ の対象だから、上の図式は一見すると複数の空間での話題が混在しているように見える。
これは、次の2通りの解釈ができる。
まず、$\forall i \in \textbf{Ob(J)}$ について、
\begin{array}{ccc}
\textrm{colim}\mathcal{D} & \longrightarrow & X\\
\phantom{\overset{\varphi_i}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi_i}{} & \nearrow_{x_i}\\
\mathcal{D}i
\end{array}
が可換である、という見方。すると、これは圏 $\textbf{C}$ 上での可換図式だと解釈できる。
もう一つは、関手 $\mathcal{X}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$で、
\forall i \in \textbf{Ob(J)}, \mathcal{X}i = X\\
\forall f \in \textbf{Hom(J)}, \mathcal{X}f = id_X
となるものを用意し、 $X$ と同一視するという見方だ。 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ も同様に解釈すると $\varphi, x$ は自然変換だと言える。するとこれは関手圏 $\textbf{C}^\textbf{J}$ 上での可換図式だと解釈できる。
いずれにせよ同じ事実、仲介射 $\textrm{colim}\mathcal{D} \rightarrow X$ の存在を表現している。
証明は読者の演習問題とする
は長いので、 (笑) と略記する。
証明
まず、 $\textrm{Hom}(-, A)$ の形の関手が余極限を保存することを示す。
次に、 $\mathcal{F} \cong \mathcal{G}$ の時 $\mathcal{F}$ が余極限を保存するなら $\mathcal{G}$ も余極限を保存することを示す。
この2つが示せれば $\textrm{Hom}(-, A)$ と同型な関手 $\mathcal{F}$ も余極限を保存する、ということが出来る。
Hom(-, A) が余極限を保存することの証明
$\textbf{C}$ からの錐 $(\textrm{colim}\mathcal{D}, \varphi)$ を $\textrm{Hom}(-, A)$ で移した図を考える。
\begin{array}{ccc}
in\textbf{C} & in \textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
$\textbf{Set}$ 上で $\left(\textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A), \textrm{Hom}(\varphi, A)\right)$ は $\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)$ への錐になる(笑)。
他の錐 $(N, \psi)$ があった時に、仲介射 $u: N \rightarrow \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ が存在することを示す。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
$n \in N$ を一つ固定する。これに対し、 $\psi(n): \mathcal{D} \rightarrow A$ が定まる(本当は 添字 $i \in \textbf{Ob(J)}$ を付けて $\psi_i(n): \mathcal{D}i \rightarrow A$ と書くべきところだが省略している。適宜脳内補完すべし)。
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
すると、圏 $\textbf{C}$ 上で $(A, \psi(n))$ は $\mathcal {D}$ からの錐であるから(汗)、 $\textrm{colim}\mathcal{D}$ からの仲介射 $f$ が定まる
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \overset{f} \longrightarrow & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
$n \in N$ から $f \in \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ への対応を $u: N \rightarrow \textrm{Hom}(\textrm{colim}\mathcal{D}, A)$ とすれば、これは $\textbf{Set}$ 上の仲介射となっている(死)
\begin{array}{ccccccc}
in\textbf{C} & & & & in\textbf{Set}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \overset{f} \longrightarrow & A & & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi(n)}}\nearrow_{\psi(n)} & & \xrightarrow{\textrm{Hom}(-, A)} & \phantom{\overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{}}\bigg\downarrow \overset{\textrm{Hom}(\varphi, A)}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & & & & \textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)
\end{array}
\begin{array}{ccc}
u: & N & \longrightarrow & \textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)\\
& n & \longmapsto & f
\end{array}
以上により、 $\textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right)$ が 図式 $\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)$ の極限であることが言えた。つまり、
\textrm{Hom}\left(\textrm{colim}\mathcal{D}, A\right) \cong \textrm{lim}\bigl(\textrm{Hom}(\mathcal{D}, A)\bigr)
が言えたことになる。
F ≡ G の時 F が余極限を保存するなら G も余極限を保存する
ほとんど自明だが簡単に説明する。
反変関手 $\mathcal{F, G}: \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{D}$ について、
\mathcal{F} \cong \mathcal{G}
を仮定する($\textbf{D}$ は $\textbf{Set}$ でなくともよい)。つまり、自然変換
\vartheta: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{F}
が存在し、$\forall X \in \textbf{Ob(C)}$ について
\vartheta_X: \mathcal{G}X \rightarrow \mathcal{F}X
が同型射である。
また、 $\mathcal{F}$ は余極限を保存するとする。つまり、任意の図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ について、
\mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
である。
この 2 つの仮定から、まず次が言える。
\mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \mathcal{F}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}
残る $\textrm{lim}\mathcal{GD}$ がこの3つのどこかと同型であることが言えれば、表題が示せる。
$\mathcal{D}$ からの錐 $(\textrm{colim}\mathcal{D}, \varphi)$ を $\mathcal{G}$ で写した図を考える。
\begin{array}{cccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
他の錐 $(N, \psi)$ から仲介射が作れるかを考える。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{?} \dashleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
$\vartheta_{\mathcal{D}}: \mathcal{GD} \rightarrow \mathcal{FD}$ で $\psi$ を移すと、$(N, \vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi)$ は $\mathcal{FD}$ への錐である。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi} & \phantom{\overset{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}{}}\bigg\downarrow \overset{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}{} \\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
$\mathcal{FD}$ は極限を持つので、$N$ からの仲介射 $u$ が存在する。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & & \textrm{lim}\mathcal{FD} & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & & \bigg\downarrow & \phantom{{}_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}}\swarrow_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
$\mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) \cong \textrm{lim}\mathcal{FD}$ であったから、同型射 $f: \textrm{lim}\mathcal{FD} \rightarrow \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})$ が存在する。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{f} \longleftarrow & \textrm{lim}\mathcal{FD} & \overset{u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & & \bigg\downarrow & \phantom{{}_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}}\swarrow_{\vartheta_{\mathcal{D}} \circ \psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD} & \overset{\vartheta_{\mathcal{D}}}\longrightarrow & \mathcal{FD}
\end{array}
$f \circ u: N \rightarrow \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D})$ が、求めていた仲介射である。
\begin{array}{cccccc}
in\textbf{C} & in\textbf{C}^\textrm{op} & & in\textbf{D}\\
\textrm{colim}\mathcal{D} & \textrm{colim}\mathcal{D} & & \mathcal{G}(\textrm{colim}\mathcal{D}) & \overset{f \circ u} \longleftarrow & N\\
\phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\uparrow \overset{\varphi}{} & \phantom{\overset{\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\varphi}{} & \xrightarrow{\hspace{1em}\mathcal{G}\hspace{1em}} & \phantom{\overset{\mathcal{G}\varphi}{}}\bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}\varphi}{} & \phantom{{}_{\psi}}\swarrow_{\psi}\\
\mathcal{D} & \mathcal{D} & & \mathcal{GD}
\end{array}
以上により、表現可能関手は余極限を保存することが示された。