問

集合

S = \left\{\left\{\sqrt{n}\right\} \mid n \in \mathbb{N}\right\}

は区間 $[0, 1]$ の中で稠密であることを示せ。

記号、用語

小数部分

$\left\{x\right\}$ で（実数）$x$ の小数部分を表す。

稠密

位相空間における稠密集合のちゃんとした定義はおググりください。

実数の集合 S が区間 $[0, 1]$ の中で稠密であるとは、S が次の条件を満たすことを言う。

\forall a, b \in [0, 1], a < b \implies \exists x \in S\ s.t. a < x < b

証明

方針

方針としては、基本的には有理数が実数の中で稠密であることの証明と同じである。
まず、数直線上に点 $a$, $b$ がある情景を思い浮かべる。
この数直線上を小人が $a$ より左側から右側へ歩いていく。
歩幅が $b-a$ より小さければ、小人は $a$ と $b$ を同時に飛び越えることが出来ない。
必ず $a$ と $b$ の間の点を踏むことになり、この点が求めたい点である。

有理数の場合と異なるのは、歩幅が場所によって異なることであり、ここに一工夫が必要である。

$\sqrt{n^2} 〜 \sqrt{(n+1)^2}$ の間には $2n + 1$ 個の数がある。隣り合う数の差はそれぞれ

\begin{align}
\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2} & = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2}}, \\
\sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 + 1} & = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 1}}, \\
& ... \\
\sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{(n+1)^2 - 1} & = \frac{1}{\sqrt{(n+1)^2} + \sqrt{(n+1)^2 - 1}} \end{align}

であり、このうち最大は

\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2}}

である。

この、一番大きい幅が $b - a$ より小さくなるような n を選べば、$\left\{\sqrt{n^2}\right\}, \left\{\sqrt{n^2 + 1}\right\}, ... \left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\}$ の並びは a と b を同時に飛び越えることができない。つまり a と b の間に $S$ の元が含まれることになる。

証明

まず、任意の $n$ について、 $\sqrt{n^2}, \sqrt{n^2 + 1}, ... \sqrt{(n + 1)^2 - 1}$ の整数部分は等しく $n$ であり、この数列は単調増加であるから、これらの小数部分の数列 $\left\{\sqrt{n^2}\right\}, \left\{\sqrt{n^2 + 1}\right\}, ... \left\{\sqrt{(n + 1)^2 - 1}\right\}$ も単調増加である。

$a, b \in [0, 1], a < b$ を任意に取る。

n > \frac{1}{2(b-a)}

となる自然数 $n$ を 1 つ取ると、

\frac{1}{b-a} < 2n = n + n < \sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2} \\
\therefore \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2}} < b - a.

次に、 $\left\{\sqrt{n^2}\right\}, \left\{\sqrt{n^2 + 1}\right\}, ... \left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\}$ のうち、 a 以下で最大のものを選び、 $\left\{\sqrt{n^2 + i}\right\}$ と書く。

[追記] $a$ 以下で最大のものは $\left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\}$ にはならない。なぜなら、$\left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\}$ であると仮定すると

\begin{align}
b - a & \leq 1 - \left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\} \\
& = \Bigl(n + 1\Bigr) - \Bigl( n + \left\{\sqrt{(n+1)^2 - 1}\right\} \Bigr) \\
& = \sqrt{(n+1)^2} - \sqrt{(n+1)^2 - 1} \\
& < \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2}
\end{align}

となって、もとの $n$ の設定と矛盾する。

したがって、$\left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\} < 1$ が存在して、 $a$ より真に大きくなる。
すると、

\begin{align}
\left\{\sqrt{n^2 + i}\right\} \leq a < \left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\} &= \left\{\sqrt{n^2 + i}\right\} + \left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\} - \left\{\sqrt{n^2 + i}\right\} \\
& = \left\{\sqrt{n^2 + i}\right\} + \Bigl( n + \left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\}\Bigr) - \Bigl( n + \left\{\sqrt{n^2 + i}\right\}\Bigr) \\
& = \left\{\sqrt{n^2 + i}\right\} + \sqrt{n^2 + i + 1} - \sqrt{n^2 + i} \\
& \leq a + \Bigl( \sqrt{n^2 + i + 1} - \sqrt{n^2 + i} \Bigr) \\
& \leq a + \Bigl( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2} \Bigr) \\
& < a + (b - a) = b \\
\end{align}

が成り立つ。
よって、 $\left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\} \in S$ は $a < \left\{\sqrt{n^2 + i + 1}\right\} < b $ を満たす。
$a, b$ は任意であったから、 $S$ は稠密である。