表記法について。
圏論を勉強していると、圏の圏の射は関手だったり、関手の圏の対象は関手だったりと、何がなにやら混乱することがある。今どの世界線の話をしているのか、常に意識をしなければならない。
文中に出現した記号が、圏なのか、対象なのか、関手なのか、ということをフォントによって見分けられることを目指す。
例外も多いので目安程度に。
圏
\textbf の大文字を使用する。
\textbf{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}\\
\textbf{Set}, \textbf{Grp}, \textbf{Top}, \textbf{Mon}, \dots
双対圏は \textrm{op} を肩に添え、 $\textbf{C}^\textrm{op}$ と表す。
対象
通常の大文字を使用する。
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ\\
A, B \in \textbf{Ob(C)}
ただし、添字圏の対象は小文字 $i, j, \dots$ を使用する。
\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}\\
\begin{array}{clc}
L\\
\phantom{\overset{\varphi_i}{}} \big\downarrow \overset{\varphi_i}{} & \searrow^{\varphi_j} \\
\mathcal{D}i & \rightarrow & \mathcal{D}j
\end{array}
射
通常の小文字を使用する。
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz\\
f: A \rightarrow B\\
f \in \textrm{Hom}_\textbf{C}(A, B)
ただし図式 $\mathcal{D}$ への錐を構成する射はギリシャ文字を使用する。
関手
\mathcal の大文字を使用する。対象や射への適用の際は括弧を省略する。
\mathcal{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}\\
\mathcal{F}: \textbf{C} \rightarrow \textbf{D}\\
\mathcal{F}A \in \textbf{Ob(D)}\\
\mathcal{F}f: \mathcal{F}A \rightarrow \mathcal{F}B
\mathcal{Cone}(-, \mathcal{D}): \textbf{C}^\textrm{op} \rightarrow \textbf{Set}
自然変換
ギリシャ文字の小文字を使用する。
\alpha\beta\gamma\delta\varepsilon\zeta\eta\vartheta\iota\kappa\lambda\mu\nu\xi\omicron\pi\rho\sigma\tau\upsilon\varphi\chi\psi\omega\\
\vartheta: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}
\begin{array}{ccc}
in\textbf{C}&in\textbf{D}\\
A & \mathcal{F}A & \xrightarrow{\hspace{1em}\vartheta_A\hspace{1em}} & \mathcal{G}A\\
\phantom{\overset{f}{}}\Bigg\downarrow \overset{f}{} & \phantom{\overset{\mathcal{F}f}{}}\Bigg\downarrow \overset{\mathcal{F}f}{} & \circlearrowright & \phantom{\overset{\mathcal{G}f}{}}\Bigg\downarrow \overset{\mathcal{G}f}{}\\
B & \mathcal{F}B & \xrightarrow{\hspace{1em}\vartheta_B\hspace{1em}} & \mathcal{G}B\\
\end{array}
その他
圏 $\textbf{C}$ の対象の全体を $\textbf{Ob(C)}$ で表す。
圏 $\textbf{C}$ の射の全体を $\textbf{Hom(C)}$ で表す。
太字を使うのはこのくらい（多分）で、後は \textrm を使用する。
圏 $\textbf{C}$ において、対象 $A$ から対象 $B$ への射の全体を $\textrm{Hom}_\textbf{C}(A, B)$ と表す。
平行射 $f,g: A \rightarrow B$ に対するイコライザを $\textrm{eq}(f, g)$ と表す。
図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ の極限を $\underset{\leftarrow}{\textrm{lim}}\mathcal{D}$ と表す。
圏の圏 $\textbf{Cat}$ の対象は圏であるから $\textbf{C}, \textbf{D}, \dots$ と表す。射は関手だから $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \dots$ と表す。
関手の圏 $\textbf{D}^\textbf{C}$ の対象は関手であるから $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \dots$ と表す。射は自然変換だから $\vartheta, \varphi, \dots$ と表す。