大晦日ですね。皆様本年は良い年でしたでしょうか？
今RIZINを見ながらカキカキしています。
よくあるやつだと思うんですけど、CircleAvatarにtapイベントってどうやるんだ？となったのでメモがてら記載します。
こんなときはStackを使うのです！ウィジェットの上にボタンウィジェットを重ねてタップできるようにします。
例ではalignmentとPaddingで位置調整をしています。ここはセンスで。

main.dart

appBar: AppBar(
        backgroundColor: Colors.white,
        title: Text('サンプル',
            style: TextStyle(
              fontSize: 20,
              color: Colors.black,
              fontWeight: FontWeight.bold,
            )),
        actions: <Widget>[
          Padding(
            padding: EdgeInsets.only(right: 10.0),
            // タップイベントを効かせるためにStackで包んでCircleAvatarとボタンウィジェットを重ねる
            child: Stack(
              alignment: Alignment.centerRight,
              children: <Widget>[
                CircleAvatar(
                  radius: 20,
                  child: ClipOval(
                    child: Image.network(
                      "https://i.pravatar.cc",
                    ),
                  ),
                  backgroundColor: AppColor.mainColor,
                ),
                Positioned(
                  right: 0.0,
                  width: 40.0,
                  height: 40.0,
                  child: RawMaterialButton(
                    onPressed: () {
                      Navigator.push(
                          context,
                          MaterialPageRoute(builder: (context) => MyPageScreen(title: 'マイページ')));
                    },
                    shape: CircleBorder(),
                  ),
                ),
              ],
            ),
          ),
        ],
      ),

皆さんにとって来年も良い年でありますように。
でわ！！