C
ペトリック法
論理圧縮
クワイン・マクラスキー法

クワイン・マクラスキー法とペトリック法をCで実装した

クワイン・マクラスキー法とペトリック法をCで実装した

環境
- gcc バージョン 7.1.1 20170630 (GCC)

この記事の読者はクワイン・マクラスキー法とペトリック法のアルゴリズムをある程度理解していることを前提とします.

動機

(7,4)ハミング符号の論理回路をDNFで作る必要があった.
クワイン・マクラスキー法 実装でググってもCのソースがよくわかんなかった.というか読む気が起きない.
じゃあ書くしか無いじゃん.
(ちなみに(7,4)ハミング符号の場合は↑より早いし必須項が小さい)

クワイン・マクラスキー法

  • 入力 uint8_t in[128];
  • 出力 主項
  1. 出力が1となる入力について,1の数によって最小項を分類する.
  2. ハミング距離が1であるような最小項をまとめ,組としてあつかい,まとめられなくなるまで繰り返す.

1の数によって最小項を分類する.

最小項の組の集合を要素とする,1の数を添え字とする配列によって表現する.

最小項の組の集合の型をset_pとすると,set_p[8]となる.

真理値表から出力が1となる入力を配列に追加する.

例えば
0100,1000,1001,1010,1100,1011,1110,1111
のとき1になるとすると,擬似コードで書くと以下のようになる.

set_p table[5]; //0~4なので
table[1] = { 0100, 1000 };
table[2] = { 1010, 1100 };
table[3] = { 1011, 1110 };
table[4] = { 1111 };

実際には7bitなのでtableは8要素.
for文で0<=i<128について調べる.

set_p table[8];
for(int i = 0; i < 128; i++) {
    if(in[i] == 1) {
        table[__builtin_popcount(i)]にiを追加する; 
    }
}

ハミング距離が1であるような最小項をまとめ,できなくなるまで繰り返す.

最小項をまとめる

table[8]が作成できたので,最小項をまとめていく.
ハミング距離が1であるような最小項は立っているビットがi,i+1であるので,0<=i<8についてまとめていく.
この際まとめられなかった組を主項として,印をつける.

for(int i = 0; i < 8; i++) {
    table[i]とtable[i+1]をまとめ,new_table[i]とする.
    table[i] = new_table[i];
}

table[i]とtable[i+1]をまとめる.

各table[i]の要素sについて(table[i]は最小項の組の集合),sがすでに主項であればnew_table[i]に追加し,違う場合はtable[i+1]からまとめられる項を探し,あれば組にしたものをnew_table[i]に追加し,ない場合はsに主項の印をつけてnew_table[i]に追加する.

for s in table[i] {
    if(sが主項) {
        new_table[i]にsを追加;
        continue;
    } else {
        for t in table[i+1] {
            if(sとtがまとめられる) {
                new_table[i]に(sとtをまとめたもの)を追加;
                フラグを立てる;
            }
        }
        if(まとめられなかった) {
            sに主項の印をつける;
            new_table[i]にsを追加;
        }
    }
}

まとめられなくなるまで繰り返す.

new_table[i]の要素に少なくとも1つ主項の印がついていないものがあればまだまとめられる可能性がある.
→全て印がつくまで繰り返す.

while(tableの要素全て印がついているか?) {
    for(int i = 0; i < 8; i++) {
        table[i]とtable[i+1]をまとめ,new_table[i]とする.
        table[i] = new_table[i];
    }
}

かぶっている主項を消す.

上記の方法だと,
1100, 1101, 1110, 1111
が最小項のとき,

table[2] = { 1100 };
table[3] = { 1101, 1110 };
table[4] = { 1111 };
1回目
table[2] = { 11x0, 110x };
table[3] = { 11x1, 111x };
table[4] = { {1111}* }; //*は主項の印
2回目
table[2] = { 11xx };
table[3] = { 11x1*, 111x* };
table[4] = { 1111* };
3回目
table[2] = { 11xx* };
table[3] = { 11x1*, 111x* };
table[4] = { 1111* };

となるが,この時もちろんtable[3],table[4]はtable[2]の11xxに含まれるので,11x1,111x,1111を除去する操作を行う.

擬似コードで書くと

for(int i = 7; i > 0; i--) {
    for s in table[i] {
        for t in table[i - 1] {
            if(sはtの部分集合である) {
                削除フラグを立てる;
            }
        }
        if(削除できない) {
            new_table[i]にsを追加;
        }
    }
}
new_table[0] = table[0];

となり,主項が得られる.

ペトリック法

  • 入力 主項
  • 出力 必須項
  1. 主項を使い論理式を積和形で表す.
  2. 展開して和積形に直す.
  3. 和の項の数が最小である積の項を1つ取れば和の項が必須項になっている.

主項を使い論理式を積和形で表す.

今,主項は $abc$ や $\overline{a}bc$ のような形になっているので,出力を1とする各入力をカバーする主項をandでまとめ,それらをorでまとめれば目的の論理式が得られる.(ただし最小ではない)

即ち,入力 $i$ をカバーする主項を $p_i$ とすると,

\bigvee_{i \in I}{\bigwedge_{p_i \in P}{p_i}}

である.

例えば, $p_1 = \{ \alpha, \beta \}, p_2 = \{ \alpha, \gamma \}, p_3 = \{ \beta,
\gamma \}$ なら,
$(\alpha \wedge \beta) \vee (\alpha \wedge \gamma) \vee (\beta \wedge \gamma) $ となる.

展開して和積形に直す.

\bigvee_{i \in I}{\bigwedge_{p_i \in P}{p_i}}

\bigwedge{\bigvee{p_i}}

に直す.

上記の例を展開すると,

\begin{eqnarray}
(\alpha \wedge \beta) \vee (\alpha \wedge \gamma) \vee (\beta \wedge \gamma) 
& = & (\alpha \vee \alpha \vee \beta) & \wedge & (\alpha \vee \alpha \vee \gamma) & \wedge & (\alpha \vee \gamma \vee \beta) & \wedge & (\alpha \vee \gamma \vee \gamma) & \wedge & (\beta \vee \alpha \vee \beta) & \wedge & (\beta \vee \alpha \vee \gamma) & \wedge & (\beta \vee \gamma \vee \beta) & \wedge & (\beta \vee \gamma \vee \gamma) \\
& = & (\alpha \vee \beta) & \wedge & (\alpha \vee \gamma) & \wedge & (\alpha \vee \gamma \vee \beta) & \wedge & (\alpha \vee \gamma) & \wedge & (\beta \vee \alpha) & \wedge & (\beta \vee \alpha \vee \gamma) & \wedge & (\beta \vee \gamma) & \wedge & (\beta \vee \gamma) \\
& = & (\alpha \vee \beta) & \wedge & (\alpha \vee \gamma) & \wedge & (\alpha \vee \gamma \vee \beta) & \wedge & (\beta \vee \gamma) \\
\end{eqnarray}

となる.

積和形の各積の項の数を $n_i$ とすると,和積形の積の項の数は $\prod{n_i}$ となるので,非常に大きくなる.
上記の例で言うと,2*2*2=8となる.

積の項の中身をブール代数の性質によって消去したり,同じ項をまとめることによって, $(\alpha \vee \beta) \wedge (\alpha \vee \gamma) \wedge (\alpha \vee \gamma \vee \beta) \wedge (\beta \vee \gamma)$ が得られる.

和の項の数が最小である積の項を1つ取れば和の項が必須項になっている.

この和積形の論理式の1つの項を取れば,その項に含まれている項が必須項となる.
上記の例で言うと, $(\alpha, \beta), (\alpha, \gamma), (\beta, \gamma)$ いずれかのペアが必須項である.

ソースコードの説明するの面倒になったので自分で考えてください

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <ctype.h>
#include <assert.h>

#define BIT(n, i) ((((n) & (1 << (i))) >> (i)) & 1u)
#define XOR(x, n) XOR##n(x)
#define XOR4(x) (BIT(x, 0) ^ BIT(x, 2) ^ BIT(x, 3))
#define XOR5(x) (BIT(x, 0) ^ BIT(x, 1) ^ BIT(x, 3))
#define XOR6(x) (BIT(x, 1) ^ BIT(x, 2) ^ BIT(x, 3))

uint8_t encode(uint8_t i) {
        return (i & 0xf)
                |  (XOR(i, 4) << 4)
                |  (XOR(i, 5) << 5)
                |  (XOR(i, 6) << 6)
                ;
}

#define CHKBIT(x, op, n) (XOR(x, n) op BIT(x, n))
#define CHK(x, op1, op2, op3, s) (((CHKBIT(x, op1, 4) & CHKBIT(x, op2, 5) & CHKBIT(x, op3, 6))  ^ BIT(x, s)) << s)

uint8_t decode(uint8_t x) {
        return CHK(x, !=, !=, ==, 0)
                |  CHK(x, ==, !=, !=, 1)
                |  CHK(x, !=, ==, !=, 2)
                |  CHK(x, !=, !=, !=, 3)
                |  CHK(x, !=, ==, ==, 4)
                |  CHK(x, ==, !=, ==, 5)
                |  CHK(x, ==, ==, !=, 6)
                ;
}

#define hamming_dist(n, m) (__builtin_popcount((n) ^ (m)))

//-------------huffman coding----------------------------

typedef struct set *set_p;
typedef struct set {
        __uint128_t bitset;
        set_p next;
        bool ispl; //prime implicants
} set;

set_p alloc_set(__uint128_t s, set_p n) {
        set_p ret = malloc(sizeof(set));
        assert(ret);
        ret->bitset = s;
        ret->next = n;
        ret->ispl = false;
        return ret;
}

void free_set(set_p s) {
        if(!s) return;
        free_set(s->next);
        free(s);
}

set_p copy_set(set_p s) {
        if(!s) return NULL;
        return alloc_set(s->bitset, copy_set(s->next));
}

bool is_member(__uint128_t bs, set_p s) {
        if(!s) return false;
        if(bs == s->bitset) return true;
        return is_member(bs, s->next);
}

bool is_subset(set_p s, set_p t) {
        if(!s) return true;
        if(!is_member(s->bitset, t)) return false;
        return is_subset(s->next, t);
}

set_p union_set(set_p s, set_p t) {
        if(!t) return copy_set(s);
        if(is_member(t->bitset, s)) return union_set(s, t->next);
        return alloc_set(t->bitset, union_set(s, t->next));
}

set_p intersection_set(set_p s, set_p t) {
        if(!t) return NULL;
        if(is_member(t->bitset, s)) return alloc_set(t->bitset, intersection_set(s, t->next));
        return intersection_set(s, t->next);
}

set_p remove_set(set_p s, set_p i) {
        if(s == i) return s->next;
        for(set_p t = s; t; t = t->next) {
                if(t->next == i) {
                        t->next = t->next->next;
                }
        }
        return s;
}

size_t size_set(set_p s) {
        if(!s) return 0;
        return size_set(s->next) + 1;
}

int print_bin(uint8_t n) {
        for(int i = 7; i >= 0; i--) {
                printf("%c", 0x30 + BIT(n, i));
        }
        return 0;
}

#define foreach_bitset(n, v) for(uint8_t v; v = (__builtin_ffsll(n)?:(64 + __builtin_ffsll(n >> 64))) - 1, n; n &= ~(((__uint128_t)1) << v))
int print_bitset(__uint128_t n) {
        int i = 0;
        printf("{");
        foreach_bitset(n, ffs) {
                printf("%d, ", ffs);
                //isgraph(ffs)?printf("%c, ", ffs):printf("%#x, ", ffs);
                i+=ffs;
        }
        printf("}");
        //printf("%d", i);
        return 0;
}

size_t size_bitset(__uint128_t n) {
        size_t ret = 0;
        foreach_bitset(n, v) { ret++; }
        return ret;
}

int print_set(set_p s) {
        printf("{");
        for(; s; s = s->next) {
                print_bitset(s->bitset);
                printf("%s", s->ispl?"*":"");
                printf(", ");
        }
        printf("}");
        return 0;
}

typedef set_p *set_hamming;

void free_set_hamming(set_hamming s) {
        for(int i = 0; i < 9; i++) {
                free_set(s[i]);
        }
        free(s);
}

set_hamming reg_minterm(uint8_t r[128], size_t d) {
        set_hamming ret = malloc(sizeof(set_p[9]));
        for(int i = 0; i < 9; i++) {ret[i] = NULL;}
        for(size_t i = 0; i < 128; i++) {
                if(BIT(r[i], d)) {
                        ret[__builtin_popcount(i)] = alloc_set(((__uint128_t)1) << i, ret[__builtin_popcount(i)]);
                }
        }
        ret[8] = NULL;
        return ret;
}

uint16_t uint8to16(uint8_t n) {
        return (BIT(n, 6) << 12)
                 | (BIT(n, 5) << 10)
                 | (BIT(n, 4) << 8)
                 | (BIT(n, 3) << 6)
                 | (BIT(n, 2) << 4)
                 | (BIT(n, 1) << 2)
                 | (BIT(n, 0) << 0)
                 ;
}


#define CHK_DC(n, m, d) (((BIT(n, 2 * d) ^ BIT(m, 2 * d)) << (2 * d + 1)) | ((BIT(n, 2 * d) & BIT(m, 2 * d)) << (2 * d)))
uint16_t repr_w_dc(uint16_t n, uint16_t m) {
        return CHK_DC(n, m, 6)
                 | CHK_DC(n, m, 5)
                 | CHK_DC(n, m, 4)
                 | CHK_DC(n, m, 3)
                 | CHK_DC(n, m, 2)
                 | CHK_DC(n, m, 1)
                 | CHK_DC(n, m, 0)
                 ;
}

uint16_t minterm_repr(__uint128_t n) {
        uint16_t ret = uint8to16((__builtin_ffsll(n)?:(64 + __builtin_ffsll(n >> 64))) - 1);
        foreach_bitset(n, ffs) {
                ret = repr_w_dc(ret, uint8to16(ffs));
        }
        return ret;
}

bool is_combinable(uint16_t n, uint16_t m) {
        return hamming_dist(n, m) < 2;
}

set_p combine_list(set_p s, set_p t) {
        set_p ret = NULL;
        for(; s; s = s->next) {
                if(s->ispl) {
                        ret = alloc_set(s->bitset, ret);
                        ret->ispl = true;
                        continue;
                }

                bool is_combined = false;
                for(set_p tmp = t; tmp; tmp = tmp->next) {
                        __uint128_t n = s->bitset, m = tmp->bitset;
                        if(__builtin_popcountll(n >> 64) + __builtin_popcountll(n)
                        != __builtin_popcountll(m >> 64) + __builtin_popcountll(m)) {
                                continue;
                        }
                        uint16_t ffsn = minterm_repr(n), ffsm = minterm_repr(m);

                        if(is_combinable(ffsn, ffsm)) {
                                ret = union_set(ret, alloc_set(n | m, NULL));
                                is_combined = true;
                        }
                }
                if(!is_combined) {
                ret = alloc_set(s->bitset, ret);
                ret->ispl = true;
                }
        }
        return ret;
}


set_hamming combine_minterm(set_p minterm[8]) {
        set_hamming new_minterm = malloc(sizeof(set_p[9]));
        for(int i = 0; i < 8; i++) {
                new_minterm[i] = NULL;
                new_minterm[i + 1] = NULL;
                new_minterm[i] = combine_list(minterm[i], minterm[i + 1]);
        }
        return new_minterm;
}

bool is_all_pl(set_hamming s) {
        for(int i = 0; i < 8; i++) {
                for(set_p t = s[i]; t; t = t->next) {
                        if(!t->ispl) return false;
                }
        }
        return true;
}

#define is_subbitset(n, m) (n < m && (n | m) == m)
set_hamming minimize(set_hamming hs) {
        set_hamming ret = malloc(sizeof(set_p[9]));
        for(int i = 7; i > 0; i--) {
                ret[i] = NULL;
                for(set_p s = hs[i]; s; s = s->next) {
                        bool rm = false;
                        for(set_p t = hs[i - 1]; t; t = t->next) {
                                if(is_subbitset(s->bitset, t->bitset)) {
                                        rm = true;
                                        break;
                                }
                        }
                        if(!rm) {
                                ret[i] = alloc_set(s->bitset, ret[i]);
                                ret[i]->ispl = s->ispl;
                        }
                }
        }
        ret[0] = copy_set(hs[0]);
        return ret;
}

typedef struct history *history_p;
typedef struct history {
        set_p hist;
        history_p next;
        size_t size;
} history;

history_p alloc_history(set_p h, history_p n) {
        history_p ret = malloc(sizeof(history));
        ret->hist = h;
        ret->next = n;
        return ret;
}

void free_history(history_p h) {
        if(!h) return;
        free_history(h->next);
        free_set(h->hist);
        return;
}

set_p insert(set_p sorted, set_p i) {
        size_t size = size_bitset(i->bitset);
        if(!sorted || size <= size_bitset(sorted->bitset)) return alloc_set(i->bitset, sorted);
        set_p t = NULL;
        for(t = sorted; t->next; t = t->next) {
                if(size > size_bitset(t->bitset)) continue;
                t->next = alloc_set(i->bitset, t->next);
                return sorted;
        }
        t->next = alloc_set(i->bitset, NULL);
        return sorted;
}

set_p insertion_sort(set_p l) {
        set_p inserted = NULL;
        for(; l; l = l->next) {
                inserted = insert(inserted, l);
        }
        return inserted;
}

history_p sort_history(history_p hist) {
        for(history_p h = hist; h; h = h->next) {
                h->hist = insertion_sort(h->hist);
        }
        return hist;
}

history_p minimize_history(history_p hist) {
        for(history_p h = hist; h; h = h->next) {
                for(set_p t = h->hist; t; t = t->next) {
                        __uint128_t mask = 0;
                        for(set_p u = h->hist; u; u = u->next) {
                                if(u == t) continue;
                                mask |= u->bitset;
                        }

                        if(is_subbitset(t->bitset, mask)) {
                                h->hist = remove_set(h->hist, t);
                        }
                }
        }
        return hist;
}

int print_history(history_p h) {
        printf("{");
        for(; h; h = h->next) {
        printf("{size %u, ", size_set(h->hist));
        print_set(h->hist);
        printf("}\n");
        }
        printf("}");
        return 0;
}

int petrick_method(uint8_t r[128], size_t d, bool iscontain[128], set_p chart[128]) {
        set_p mpi = NULL;
        history_p hist = alloc_history(NULL, NULL);
        printf("found multiple pi\n");
        for(int i = 0; i < 128; i++) {
                if(!(BIT(r[i], d) && iscontain[i] == false)) continue;

                history_p new_hist = NULL;
                for(history_p h = hist; h; h = h->next) {
                        size_t min = 128;
                        for(set_p t = chart[i]; t; t = t->next) {
                                set_p tmp = union_set(h->hist, alloc_set(t->bitset, NULL));
                                size_t size = size_set(tmp);
                                if(size == min) new_hist = alloc_history(tmp, new_hist);
                                else if(size < min) {
                                        free_history(new_hist);
                                        new_hist = alloc_history(tmp, NULL);
                                        min = size;
                                }
                                else free_set(tmp);
                        }
                }
                free_history(hist);
                hist = new_hist;

                mpi = union_set(mpi, chart[i]);
        }
        hist = sort_history(hist);
        hist = minimize_history(hist);
        print_history(hist);
        free_history(hist);
}

set_p find_epi(uint8_t r[128], size_t d, set_p pl_list) { //  find the essential prime implicants
        set_p chart[128] = {NULL};
        for(set_p t = pl_list; t; t = t->next) {
                __uint128_t n = t->bitset;
                foreach_bitset(n, ffs) {
                        chart[ffs] = alloc_set(t->bitset, chart[ffs]);
                }
        }

        printf("essential prime implicants\n");

        set_p ret = NULL;
        bool iscontain[128] = {false};
        for(int i = 0; i < 128; i++) {
                if(BIT(r[i], d) && iscontain[i] == false && chart[i]->next == NULL) {
                        print_set(chart[i]);
                        ret = alloc_set(chart[i]->bitset, ret);
                        printf(", ");

                        __uint128_t n = chart[i]->bitset;
                        foreach_bitset(n, ffs) {
                                iscontain[ffs] = true;
                        }
                }
        }
        puts("");
        petrick_method(r, d, iscontain, chart);
        for(int i = 0; i < 128; i++) {
                free_set(chart[i]);
        }
        return 0;
}

//----------------quine-mccluskey_algorithm-------------------
int main(void) {
        uint8_t r[128] = {0};
        for(uint8_t i = 0; i < 128u; i++) {
                for(uint8_t j = 0; j < 16u; j++) {
                        int d = 0;
                        if((d = hamming_dist(i, encode(j))) < 2) {
                                r[i] = decode(i);
                                break;
                        }
                }
        }

        for(int i = 0; i < 128; i++) {
                print_bin(i);
                printf(" ");
                print_bin(r[i]);
                puts("");
        }
        for(int i = 0; i < 7; i++) {
                set_hamming step = reg_minterm(r, i), old_step = NULL;
                for(int i = 0; !is_all_pl(step); ) {
                        old_step = step;
                        step = combine_minterm(step);
                        free_set_hamming(old_step);
                        puts("");
                }
                old_step = step;
                step = minimize(step);
                free_set_hamming(old_step);

                set_p pl_list = NULL;
                for(int i = 0; i < 8; i++) {
                        pl_list = union_set(pl_list, step[i]);
                }
                find_epi(r, i, pl_list);
                free_set(pl_list);
        }
}