書いてみたコード

function printEl(el, indent = "") {
	console.error(indent + "tag=" + el.tagName + " ,id=" + el.id + " ,class="+ el.className);
	el.childNodes.forEach((child) => {
		printEl(child, indent + "  ");
	});
}

function watchChildElementAdditions(target){
	if ( target == null || typeof(target) == "undefined") {
		console.error("監視するノードが指定されていません");
		return;
	}

	// オブザーバインスタンスを作成
	const observer = new MutationObserver((mutations) => {
		mutations.forEach((mutation) => {
			if ( mutation.type != "childList" ) {
				return;
			}
			mutation.addedNodes.forEach( el => {
				printEl(el);
			});
		});
	});

	// 対象ノードとオブザーバの設定を渡す
	observer.observe(target, {
		attributes: false,
		characterData: false,
		childList: true,
		subtree: true,
	});
}

watchChildElementAdditions(document.getElementById('target-id'));

やっていること

MutationObserver で対象ノードの子孫も含めて監視します。子孫のノードが追加されると、 MutationObserver のコンストラクタに指定したコールバックが呼ばれ、 MutationRecordが引数で渡されます。これの addedNodes プロパティに追加された子ノードがあるので、childNodes で子孫を探していきます。

addedNodes 追加されたノードの最上位の親が渡されます。