結論：rsyncコマンドの`--dry-run`オプションを使います。

コマンド

以下のコマンドの出力結果でファイルのリストが出てきたらdiffがあります。
(rsyncコマンドは同期を行うコマンドで--dry-runオプションをつけていれば、実際に同期は行われません)

rsync --dry-run -av -e ssh {ローカルパス} リモートホスト:{リモートパス}

例：

kubota_akihiro:test20240326 $ rsync --dry-run -av -e ssh /Users/kubota_akihiro/Documents/2019/ root@ubuntu.local:/home/ubuntu/Documents/2019/
building file list ... done
20240526_Sun.txt

sent 135957 bytes  received 26 bytes  38852.29 bytes/sec
total size is 24477449  speedup is 180.00

考察

diffの結果を見るには、以下の記事のようにループを回して、１つずつdiffをとる必要がありそうです。
実務で使えるdiffのまとめ #diff - Qiita
https://qiita.com/nakamura-tsuyoshi/items/8bc850e8cc13e96d1a12
rsync --dry-run ~の有無によって、処理を分岐したい時

file_list=`rsync --dry-run -av -e ssh /Users/kubota_akihiro/Documents/2019/ root@ubuntu.local:/home/ubuntu/Documents/2019/ \
| sed -n "/building file list ... done/,/sent/p" \
| sed "/building file list ... done\|^$\|sent/d"`

のようにするとfile_listに修正するファイルリストが出力されるので、これを用いて、

if [ -n "$file_list" ]; then
  echo "diffがある時の処理"
else
  echo "diffがない時の処理"
fi

として分岐します。

rsyncとscp(cp)の違い
rsyncとscp(cp)変わらないではないかと思っていましたが、この--dry-runコマンドが使える点が大きく異なります。これで、リモートサーバーとのdiffがあるかどうかがわかります。