~/Dropbox/a.txt に相当するファイルを、APIを使って読み出す手順です。

https://www.dropbox.com/developers/apps にアクセスして create app クリック
dropbox API app 選択
Can your app be limited to its own folder? (アプリ専用フォルダを作るか？) → No
What type of files does your app need access to? (アクセスしたいファイル) → All file types
アプリ名入力
create クリック
OAuth2 の Generate access token の Generate をクリックして表示されたのをコピー
gem install dropbox-sdk 実行 (dropbox-sdkは公式のgem)
以下実行

require "dropbox_sdk"
client = DropboxClient.new("7でコピーしたトークン")
p client.get_file("/a.txt")