円周率とは
小学生のときに円周率を習いますが、改めて円周率とは何かと言われると難しいです。
円周率の定義：直径１に対する円周の長さ（もしくは半径１に対する上半分の円周の長さ）
昔はこのように習いますが、そもそも円とは何か、円周の長さとは何か、ということが曖昧なままになっていたと思いますので、改めて考えていきます。
定義再考
半径ｒの円：$x^2+y^2≦r^2$を満たす$(x,y)$の集合全体を円と呼び、その境界$x^2+y^2=r^2$を満たす$(x,y)$の集合全体を円周と呼ぶ
曲線の長さ：$C^1$級関数$y=f(x)$に対して、
$\int_a^b \sqrt{1 + f^{'}(x)^2}dx$となる
※なぜこうなるのかは微分積分の本を参照してください
円周の長さ：半径の長さ１の円の方程式（上半分のみ）$y=\sqrt{1 - x^2} (-1 \leq x \leq 1) $対して、曲線の長さの公式を適用すると
$$Θ(t)=\int_t^1\sqrt{1+y^{'}(x)^2}dx$$
これが、x座標が$t$から$1$まで動く時の円の長さになります。そうすると、円周率の定義は$-1$から$1$までの長さとするべきなので、$t=-1$としたときの$Θ(-1)$について
$$\begin{align}\pi &= \int_{-1}^1\sqrt{1+y^{'}(x)^2}dx
\end{align}$$
で円周率を定義すべきといえます。
円周率の定義をするのに微分積分が必要なのかと思うかもしれませんが、数学の辞書を見ると積分を使った定義が書いてあったりします。また定義といってもいくつかパターンがあるようですが、どれも本当にきっちりやろうとすると、高校や大学以上の数学が必要になります。数学では曖昧さがあれば思わぬところで大きな間違いをしてしまうので、厳密にやることが求められます。
円周の長さが半径（直径）の長さに比例するかを確認
半径$r$の円の方程式$x^2+y^2=r^2$に対して曲線の長さの公式と、積分の変数変換の公式を使うと$\int_{-r}^r\sqrt{1+y^{'}(x)^2}dx=r\int_{-1}^1\sqrt{1+y^{'}(x)^2}dx$となるので、半径$r$の円周の長さ（上半分）=$\pi×r$となります。$\pi$は定数なので、円周の長さは半径$r$に比例することが分かりました。曲線の長さの公式では$y^{'}(x)$に2乗がついているので、上半分も下半分も同じ長さです。これにより、円周の長さは$2\pi r$になります。