検証用コード

extends AnimationPlayer


func _ready():
	play("new_animation")


func _on_animation_finished(anim_name):
	print_debug("finished: %s" % anim_name)


func _on_timer_timeout():
	stop()
	print_debug("stop!")

AnimationMixer.animation_finished を _on_animation_finished() に接続しています。
また、 Timer にアニメーションの再生時間より短い時間を設定しておき、 timeout シグナルを _on_timer_timeout()に接続しています。

出力

stop!
   At: res://my_animation_player.gd:14:_on_timer_timeout()
--- Debugging process stopped ---

確かにまあ、 "finish" ってやり遂げる的な意味合いが含まれてるらしいですからね……。

参考文献

AnimationMixer — Godot Engine (4.2) documentation in English
AnimationPlayer — Godot Engine (4.2) documentation in English