Streamlitのドキュメントに記載されているのですが、Streamlitのハンバーガーメニューから簡単に画面を録画することができます。

使い方

右上のハンバーガーメニューから「Record a screencast」を選択。

表示されるダイアログで「Start recording!」をクリック。
「Also record audio」チェックボックスを入れれば一緒に音声も録音できるそうです。

アプリにコンテンツの読み取りを許可すると録画してくれるので、「共有する情報を選択」で録画する対象を選択しましょう。

3カウント後に録画が開始されます！

録画の終了はESCキー。
ハンバーガーメニューから「Stop recording」を選択してもいいようです。

録画を終了するとプレビューと保存のダイアログが表示されます。
「Save video to disk」をクリックすればWebM形式で動画がダウンロードできます！

注意事項

ブラウザのバージョンや設定によっては自分自身を録画することができないようです。
そういうときはアプリを二重起動するしかないかも。

こんな感じで左のアプリで右のアプリを録画することができます。