N高専
問題
[1]
(1) 放物線 y = -6x^2 + 15x の頂点の座標を求めよ。
(2) 和 Σ (k^2 + 1) (k=3→n) を求めよ。
(3) 関数 y = 6x^(log x) (x > 0) の導関数 dy/dx を求めよ。
(4) 定積分 ∫[0→π/4] tan x dx の値を求めよ。
(5) 行列 A =
( x 0 -1 )
( 1 x-2 0 )
( 0 1 x-3 )
について、方程式 |A| = 0 を解け。
[2] 微分方程式
d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 2e^(2t)
について、次の問いに答えよ。
(1) d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 0 の特性方程式を解け。
(2) d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 0 の一般解を求めよ。
(3) e^(2t) と t e^(2t) のロンスキアン W(e^(2t), t e^(2t)) を計算せよ。
(4) d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 2e^(2t) の解を x1 = A t e^(2t) と予想して、1つの解を求めよ。
(5) d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 2e^(2t) の一般解を求めよ。
[3] 対称行列 A =
( 1 0 -1 )
( 0 3 0 )
(-1 0 1 )
について、次の問いに答えよ。
(1) A の固有値 λ1, λ2, λ3 を求めよ。ただし、λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 とする。
(2) λ1, λ2, λ3 それぞれに対応する大きさ 1 の固有ベクトル v1, v2, v3 を求めよ。
ただし、v1, v2, v3 の x 成分, y 成分はいずれも 0 以上とする。
(3) P = (v1 v2 v3) とおく。P の逆行列 P^-1 を求めよ。
(4) (3) の P に対して、P^-1 A P を求めよ。
[4] 2変数関数 f(x,y) = x^4 + y^2 + 2x^2 - 4xy + 1 について、次の問いに答えよ。
(1) fx(x,y), fy(x,y) を求めよ。
(2) fx = 0 かつ fy = 0 となる (x,y) を求めよ。
(3) fxx(x,y), fyy(x,y), fxy(x,y) を求めよ。
(4) f(x,y) の極値、およびそれをとる点の座標を求めよ。
解説
[1]
(1) 放物線 y = -6x^2 + 15x の頂点
一般に y = ax^2 + bx + c の頂点の x 座標は -b/(2a)。
ここでは a = -6, b = 15。
x = -15 / (2 * -6) = 15/12 = 5/4。
y = -6*(25/16) + 15*(5/4) = -150/16 + 75/4 = -150/16 + 300/16 = 150/16 = 75/8。
頂点は (5/4, 75/8)。
(2) Σ(k^2+1), k=3→n
= Σ(k^2) + Σ(1)。
Σ(k^2), k=1→n = n(n+1)(2n+1)/6。
Σ(k^2), k=3→n = n(n+1)(2n+1)/6 - (1^2+2^2) = n(n+1)(2n+1)/6 - 5。
Σ(1), k=3→n = n-2。
よって Σ(k^2+1), k=3→n = n(n+1)(2n+1)/6 - 5 + (n-2)。
(3) y = 6 x^(log x), x > 0
log は自然対数とする。
y = 6 e^(log x * log x) = 6 e^((log x)^2)。
dy/dx = 6 e^((log x)^2) * d/dx ( (log x)^2 )。
= y * (2 log x * 1/x)。
= 6 x^(log x) * (2 log x / x)。
(4) ∫[0→π/4] tan x dx
∫ tan x dx = -log|cos x|。
= [-log(cos x)]_0^(π/4) = -log(cos(π/4)) + log(cos 0)。
= -log(√2/2) + log(1) = -log(√2/2)。
= log(2/√2) = log√2。
(5) A =
(x 0 -1)
(1 x-2 0)
(0 1 x-3)
|A| = x * ((x-2)(x-3) - 0) - 0 + (-1)(1(x-3) - (x-2)*0)。
= x(x-2)(x-3) - (x-3)。
= (x-3)(x(x-2) - 1)。
= (x-3)(x^2 - 2x -1)。
解は x = 3, または x^2 - 2x -1 = 0。
後者は x = 1 ± √2。
[2] 微分方程式 d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 2 e^(2t)
(1) 特性方程式
r^2 + 2r - 8 = 0。
解は r = [-2 ± √(4+32)]/2 = [-2 ± 6]/2。
r = 2, -4。
(2) 一般解（同次）
x_h(t) = C1 e^(2t) + C2 e^(-4t)。
(3) W(e^(2t), t e^(2t))
f1 = e^(2t), f2 = t e^(2t)。
W = det( f1 f2 ; f1' f2' )。
f1' = 2 e^(2t), f2' = e^(2t)+2t e^(2t)。
W = e^(2t)(e^(2t)+2t e^(2t)) - (t e^(2t))(2 e^(2t))。
= e^(4t)+2t e^(4t) -2t e^(4t) = e^(4t)。
(4) 特殊解を x1 = A t e^(2t) と仮定。
x' = A( e^(2t) + 2t e^(2t))。
x'' = A( 2 e^(2t) + 2 e^(2t) + 4t e^(2t)) = A(4 e^(2t)+4t e^(2t))。
代入: (x'' + 2x' - 8x)。
= A[(4 e^(2t)+4t e^(2t)) + 2(e^(2t)+2t e^(2t)) - 8t e^(2t)]。
= A[4 e^(2t)+4t e^(2t)+2 e^(2t)+4t e^(2t)-8t e^(2t)]。
= A[(6 e^(2t) +0 t e^(2t))] = 6A e^(2t)。
右辺 = 2 e^(2t)。
よって 6A = 2 → A=1/3。
特殊解 xp = (1/3) t e^(2t)。
(5) 一般解
x(t) = C1 e^(2t) + C2 e^(-4t) + (1/3) t e^(2t)。
[3] A =
(1 0 -1)
(0 3 0)
(-1 0 1)
(1) 固有値
行列式 |A - λI| = det(1-λ,0,-1; 0,3-λ,0; -1,0,1-λ)。
= (3-λ)((1-λ)(1-λ)-1)。
= (3-λ)((1-λ)^2 -1)。
= (3-λ)(λ^2 -2λ)。
= (3-λ)(λ(λ-2))。
固有値 λ = 0, 2, 3。
(2) 固有ベクトル
λ=0: A v=0。 (1 0 -1; 0 3 0; -1 0 1)(x,y,z)=0。
式1: x - z =0 → x=z。
式2: 3y=0 → y=0。
式3: -x+z=0 → ok。
v1=(1,0,1)。正規化 → (1/√2)(1,0,1)。
λ=2: (A-2I)v=0。
行列: (-1 0 -1; 0 1 0; -1 0 -1)。
式1: -x - z=0 → x=-z。
式2: y=0。
解 (1,0,-1)。正規化 (1/√2)(1,0,-1)。
λ=3: (A-3I)v=0。
行列: (-2 0 -1; 0 0 0; -1 0 -2)。
式1: -2x - z=0 → z=-2x。
式3: -x-2z=0 → -x+4x=3x=0 → x=0。
→ z=0, y自由。 v=(0,1,0)。正規化 (0,1,0)。
(3) P=(v1 v2 v3)。
v1=(1/√2)(1,0,1), v2=(1/√2)(1,0,-1), v3=(0,1,0)。
直交正規系なので P^-1 = P^T。
(4) P^-1 A P = 対角行列 diag(0,2,3)。
[4] f(x,y) = x^4 + y^2 + 2x^2 -4xy +1。
(1) fx = 4x^3+4x-4y, fy = 2y-4x。
(2) fx=0, fy=0。
fy=0 → y=2x。
fx=4x^3+4x-4(2x)=4x^3+4x-8x=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0。
解 x=0,±1。
y=2x より (0,0),(1,2),(-1,-2)。
(3) fxx=12x^2+4, fyy=2, fxy=-4。
(4) 判別式 D=fxx fyy - (fxy)^2。
(0,0): fxx=4, fyy=2, fxy=-4。D=8-16=-8<0 → 鞍点。
(1,2): fxx=16, fyy=2, fxy=-4。D=32-16=16>0, fxx>0 → 極小。
f(1,2)=1+4+2-8+1=0。
(-1,-2): fxx=16, fyy=2, fxy=-4。D=16>0, fxx>0 → 極小。
f(-1,-2)=1+4+2-8+1=0。
よって (1,2),(-1,-2) が極小値0。 (0,0) は鞍点。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from scipy.integrate import solve_ivp, quad
from numpy.linalg import eig, det
# =========================================================
# [1] 放物線 y=-6x^2+15x と (2) Σ, (3) 微分, (4) 積分, (5) 行列式
# =========================================================
x_vals = np.linspace(-1, 3, 400)
y_vals = -6*x_vals**2 + 15*x_vals
vertex_x, vertex_y = 5/4, 75/8
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x_vals, y_vals, label="y=-6x^2+15x")
plt.scatter(vertex_x, vertex_y, color="red", label=f"vertex ({vertex_x},{vertex_y})")
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.8)
plt.axvline(0, color="gray", lw=0.8)
plt.legend(); plt.title(" Parabola"); plt.show()
# (2) Σ(k^2+1), k=3→n
def sigma_expr(n):
return n*(n+1)*(2*n+1)//6 - 5 + (n-2)
print(" Σ(k^2+1), k=3→n :", [sigma_expr(n) for n in range(3,8)])
# (3) y=6*x^(log x), derivative
import sympy as sp
x = sp.symbols("x", positive=True)
y = 6*x**(sp.log(x))
dy_dx = sp.diff(y, x)
print(" dy/dx =", sp.simplify(dy_dx))
# (4) ∫ tan x dx, 0→π/4
f_tan = lambda t: np.tan(t)
I, _ = quad(f_tan, 0, np.pi/4)
print(" ∫_0^(π/4) tan x dx =", I)
# (5) 行列式
x = sp.symbols("x")
A = sp.Matrix([[x,0,-1],[1,x-2,0],[0,1,x-3]])
detA = sp.factor(A.det())
roots = sp.solve(detA, x)
print(" detA =", detA)
print("解 =", roots)
# =========================================================
# [2] d^2x/dt^2 + 2 dx/dt - 8x = 2 e^(2t)
# =========================================================
def ode(t, y):
x, dx = y
ddx = -2*dx + 8*x + 2*np.exp(2*t)
return [dx, ddx]
t_span=(0,2); y0=[0,0]
sol = solve_ivp(ode, t_span, y0, t_eval=np.linspace(0,2,200))
t = sol.t; x_num = sol.y[0]
x_theory = (1/3)*t*np.exp(2*t) # 特解のみ
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(t, x_num, label="numerical solution")
plt.plot(t, x_theory, "--", label="theoretical particular")
plt.legend(); plt.title("[2] ODE solution comparison"); plt.show()
# =========================================================
# [3] 固有値・固有ベクトル
# =========================================================
A3 = np.array([[1,0,-1],[0,3,0],[-1,0,1]])
eigvals, eigvecs = eig(A3)
print("[3] Eigenvalues:", eigvals)
print("[3] Eigenvectors:\n", eigvecs)
# =========================================================
# [4] f(x,y) = x^4 + y^2 + 2x^2 - 4xy + 1
# =========================================================
def f(x,y): return x**4 + y**2 + 2*x**2 - 4*x*y + 1
X = np.linspace(-2,2,200); Y = np.linspace(-3,3,200)
X, Y = np.meshgrid(X, Y); Z = f(X,Y)
# 3D surface
fig = plt.figure(figsize=(8,5))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
ax.plot_surface(X,Y,Z, cmap="viridis", alpha=0.8)
ax.set_title("[4] f(x,y) surface"); plt.show()
# Contour with critical points
plt.figure(figsize=(6,5))
CS = plt.contour(X,Y,Z, levels=30, cmap="viridis")
plt.clabel(CS, inline=True, fontsize=8)
crit_points=[(0,0),(1,2),(-1,-2)]
for (cx,cy) in crit_points: plt.scatter(cx,cy,color="red")
plt.title("[4] f(x,y) contour with critical points")
plt.show()
問題
[1] 次の問いに答えよ。
(1) 行列
A =
( 1 α β )
( 0 2 γ )
( 0 0 3 )
の固有値を求めよ。ここで、α, β, γ は定数である。
(2) 漸化式 a₁ = 5, aₖ₊₁ = 2aₖ − 4 (k = 1,2,3,…) で定められる数列の第10項を求めよ。
(3) 関数 y = 11log |x + √(x² + 2)| を微分せよ。
(4) 定積分 ∫[-1→1] 5x³√(x² + 1) dx の値を求めよ。
(5) 方程式 2cos²x − sinx − 1 = 0 を解け。ただし 0 ≤ x < 2π とする。
[2] 不等式 0 ≤ x+y ≤ 3, 0 ≤ x−y ≤ 1 の表す領域を D とする。x+y=u, x−y=v とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 領域 D を u,v の不等式で表せ。
(2) x と y をそれぞれ u,v を用いて表せ。
(3) ヤコビアン ∂(x,y)/∂(u,v) を求めよ。
(4) 2重積分 ∬_D (x+y)e^(−y) dxdy を u,v の累次積分で表せ。
(5) 2重積分 ∬_D (x+y)e^(−y) dxdy の値を求めよ。
[3] 行列 A = ( 1 4 )
( 4 -5 ) , E = ( 1 0 )
( 0 1 )
について、次の問いに答えよ。
(1) 方程式 |A − λE| = 0 の解 λ₁, λ₂ を求めよ。ただし λ₁ < λ₂ とする。
(2) 連立一次方程式 (A − λ₁E)x=0 の解の1つを x₁ = ( 1 ) とする。a の値を求めよ。
( a )
(3) 連立一次方程式 (A − λ₂E)x=0 の解の1つを x₂ = ( 1 ) とする。b の値を求めよ。
( b )
(4) B = (x₁ x₂) = ( 1 1 ) とする。B の逆行列 B⁻¹ を求めよ。
( a b )
(5) B⁻¹AB を求めよ。
[4] 微分方程式
(*) t² d²x/dt² − 2t dx/dt − 6x = 0
を考える。t = eᵘ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) dx/dt を u,x, dx/du の式で表せ。
(2) d²x/dt² を u,x, dx/du, d²x/du² の式で表せ。
(3) 微分方程式 () を u,x についての微分方程式として表せ。
(4) (3) で求めた u,x についての微分方程式を解け。
(5) 微分方程式 () を解け。
解説
[1]
(1) 行列 A は上三角行列なので固有値は対角成分。
λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
(2) 漸化式 a1 = 5, ak+1 = 2ak − 4
一般解 ak = 2^(k−1) + 4
第10項 a10 = 2^9 + 4 = 516
(3) y = 11 log |x + √(x^2 + 2)|
微分公式 d/dx log(x + √(x^2 + a^2)) = 1 / √(x^2 + a^2)
dy/dx = 11 / √(x^2 + 2)
(4) ∫[-1→1] 5x^3 √(x^2+1) dx
被積分関数は奇関数なので 0
(5) 2cos^2x − sinx − 1 = 0
変形すると 2(1 − sin^2x) − sinx − 1 = 0
→ 2sin^2x + sinx − 1 = 0
解は sinx = 1/2, −1
x = π/6, 5π/6, 3π/2
[2]
u = x + y, v = x − y
(1) 領域 D は 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 1
(2) x = (u+v)/2, y = (u−v)/2
(3) ヤコビアン |∂(x,y)/∂(u,v)| = 1/2
(4) ∬D (x+y)e^(−y) dxdy
= ∫0^3 ∫0^1 (u e^(−(u−v)/2)) (1/2) dv du
(5) 内側積分 ∫0^1 e^(−(u−v)/2) dv = 2(e^(1/2) − 1)e^(−u/2)
したがって
I = (e^(1/2) − 1) ∫0^3 u e^(−u/2) du
= (e^(1/2) − 1)(4 − 10 e^(−3/2))
[3]
行列 A = (1 4; 4 −5)
(1) |A − λI| = (1−λ)(−5−λ) − 16 = λ^2 + 4λ + 21
固有値 λ = −2 ± i√17
[4]
微分方程式 t^2 x'' − 2t x' − 6x = 0, t = e^u
(1) dx/dt = (1/t) x_u
(2) d^2x/dt^2 = (1/t^2)(x_uu − x_u)
(3) 変換後の式 x_uu − 3x_u − 6x = 0
(4) 特性方程式 r^2 − 3r − 6 = 0
解 r = (3 ± √33)/2
(5) 最終解 x(t) = C1 t^((3+√33)/2) + C2 t^((3−√33)/2)
import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
# =======================================
# [1] (1) Eigenvalues of upper triangular matrix
# =======================================
alpha, beta, gamma = sp.symbols('alpha beta gamma')
A1 = sp.Matrix([[1, alpha, beta],
[0, 2, gamma],
[0, 0, 3]])
eigvals_A1 = A1.eigenvals()
print("Eigenvalues of A1:", eigvals_A1)
# (2) Recurrence a1=5, a_{k+1}=2a_k-4 → 10th term
def recurrence_term(n):
return 2**(n-1) + 4
print("a10 =", recurrence_term(10))
# (3) Derivative of y = 11 log|x+sqrt(x^2+2)|
x = sp.symbols('x', real=True)
y = 11*sp.log(x + sp.sqrt(x**2+2))
dy_dx = sp.diff(y, x)
print("dy/dx =", sp.simplify(dy_dx))
# (4) Integral ∫[-1→1] 5x^3 sqrt(x^2+1) dx
f = 5*x**3*sp.sqrt(x**2+1)
I = sp.integrate(f, (x,-1,1))
print("Integral =", I)
# (5) Solve 2cos^2x - sinx - 1 = 0, 0 ≤ x < 2π
x = sp.symbols('x', real=True)
solutions = sp.solve(sp.Eq(2*sp.cos(x)**2 - sp.sin(x) - 1, 0), x)
solutions_in_0_2pi = [s.evalf() for s in solutions if 0 <= s.evalf() < 2*sp.pi]
print("Solutions in [0,2π):", solutions_in_0_2pi)
# =======================================
# [2] Double integral with transformation
# =======================================
u, v = sp.symbols('u v')
x = (u+v)/2
y = (u-v)/2
J = sp.simplify(sp.det(sp.Matrix([[sp.diff(x,u), sp.diff(x,v)],
[sp.diff(y,u), sp.diff(y,v)]])))
print("Jacobian =", J)
expr = u*sp.exp(-(u-v)/2) * abs(J)
Iuv = sp.integrate(sp.integrate(expr,(v,0,1)),(u,0,3))
print("Double integral =", sp.simplify(Iuv))
# =======================================
# [3] Matrix eigenvalues
# =======================================
A3 = sp.Matrix([[1,4],[4,-5]])
eigvals_A3 = A3.eigenvals()
print("Eigenvalues of A3:", eigvals_A3)
# =======================================
# [4] Differential equation solution
# =======================================
t,u = sp.symbols('t u')
x = sp.Function('x')
# Characteristic equation: r^2 - 3r - 6 = 0
r = sp.symbols('r')
roots = sp.solve(sp.Eq(r**2 - 3*r - 6,0), r)
print("Characteristic roots:", roots)
C1,C2 = sp.symbols('C1 C2')
sol = C1*t**roots[0] + C2*t**roots[1]
print("General solution x(t):", sol)
# =======================================
# Visualization: Example of [4] solution
# =======================================
t_vals = np.linspace(0.1, 2, 200)
r1 = float(roots[0]); r2 = float(roots[1])
y_vals = t_vals**r1 + t_vals**r2 # Example with C1=C2=1
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(t_vals, y_vals)
plt.title("[4] Solution x(t) (C1=C2=1)")
plt.xlabel("t"); plt.ylabel("x(t)")
plt.grid(True)
plt.show()
問題
[1] 次の問いに答えよ。
(1) log₂3 = a, log₇7 = b とおくとき、log₅₂1 を a と b の式で表せ。
(2) a₁ = 6, aₖ₊₁ = aₖ + 3k − 2 (k=1,2,3,…) で定められる数列の第4項を求めよ。
(3) 関数 f(x) = 11tan(e^(2x)) を微分せよ。
(4) 定積分 ∫[0→π/3] 67x cos2x dx の値を求めよ。
(5) 行列
A = ( 3 4 )
( 1 7 )
の逆行列を求めよ。
[2] 微分方程式
(*) d²x/dt² + dx/dt − 6x = 2sin t
を考える。次の問いに答えよ。
(1) 斉次微分方程式
d²x/dt² + dx/dt − 6x = 0
の特性方程式を解け。
(2) 斉次微分方程式
d²x/dt² + dx/dt − 6x = 0
の一般解を求めよ。
(3) 微分方程式 (*) の解の1つを x₁ = A cos t + B sin t と予想して、A,Bの値を求めよ。
(4) 微分方程式 (*) の一般解を求めよ。
[3] 空間内の3点 A(3,5,2), B(−2,−3,1), C(1,2,k) について、次の問いに答えよ。ただし O は原点とする。
(1) AC と OB が平行となるような定数 k の値を求めよ。
(2) AC と OB が垂直となるような定数 k の値を求めよ。
(3) 線分 AB を 2:3 に内分する点の座標を求めよ。
(4) 直線 AB の方程式を求めよ。
(5) k=1 のとき、3点 A,B,C を通る平面の方程式を求めよ。
[4] 関数 z = x³ − y² + 4xy − x について、次の問いに答えよ。
(1) 偏微分関数 zₓ, zᵧ を求めよ。
(2) zₓ = 0 かつ zᵧ = 0 を満たす (x,y) をすべて求めよ。
(3) 第2次偏微分関数 zₓₓ, zᵧᵧ, zₓᵧ を求めよ。
(4) 極値、およびそれをとる点の座標を求めよ。
(5) D = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x} とするとき、2重積分 ∬_D (x³ − y² + 4xy − x) dxdy の値を求めよ。
解説
[1]
(1) log₂3 = a, log₇7 = b とおく。
log₅2 1 = log₂1 / log₂5 = 0 / log₂5 = 0。
答えは 0。
(2) 数列 a₁ = 6, aₖ₊₁ = aₖ + 3k − 2。
a₂ = 6 + 3(1) − 2 = 7
a₃ = 7 + 3(2) − 2 = 11
a₄ = 11 + 3(3) − 2 = 18
答え：a₄ = 18。
(3) f(x) = 11 tan(e^(2x))。
f'(x) = 11 sec²(e^(2x)) · d/dx(e^(2x))
= 22 e^(2x) sec²(e^(2x))。
(4) ∫₀^(π/3) 67x cos(2x) dx。
部分積分：
u = 67x, dv = cos(2x) dx
du = 67 dx, v = (1/2) sin(2x)
∫ u dv = uv − ∫ v du
= (67/2)x sin(2x)|₀^(π/3) − (67/2)∫₀^(π/3) sin(2x) dx
∫ sin(2x) dx = −(1/2)cos(2x)
よって
= (67/2)( (π/3) sin(2π/3) ) − (67/2)( −(1/2)(cos(2π/3) − cos0))
= (67π√3)/12 − (67/2)( −1/2 −1/2 )
= (67π√3)/12 + (67/2)(1)
= (67π√3)/12 + 67/2。
(5) A = (3 4 ; 1 7)。
det(A) = 21 − 4 = 17。
A⁻¹ = 1/17 ( 7 −4 ; −1 3 )。
[2]
(*) d²x/dt² + dx/dt − 6x = 2 sin t
(1) 特性方程式：r² + r − 6 = 0
解：r = −3, 2。
(2) 一般解：x_h = C₁ e^(−3t) + C₂ e^(2t)。
(3) particular solution を x₁ = A cos t + B sin t とする。
x' = −A sin t + B cos t
x'' = −A cos t − B sin t
代入：x'' + x' − 6x
= (−A cos t − B sin t) + (−A sin t + B cos t) − 6(A cos t + B sin t)
= (−7A + B) cos t + (−A − 7B) sin t
これを 2 sin t に合わせる。
−7A + B = 0
−A − 7B = 2
B = 7A, よって −A − 49A = −50A = 2 → A = −1/25
B = −7/25。
(4) 一般解：
x(t) = C₁ e^(−3t) + C₂ e^(2t) − (1/25)cos t − (7/25)sin t。
[3]
A(3,5,2), B(−2,−3,1), C(1,2,k), O=(0,0,0)。
(1) AC=(−2,−3,k−2), OB=(−2,−3,1)。
平行条件：(k−2)/1 = 同じ比 → k = 3。
(2) 内積=0：AC·OB=4+9+(k−2)=k+11=0 → k=−11。
(3) 内分点 (2:3)：
P = (3·(−2)+2·3)/5 , (3·(−3)+2·5)/5 , (3·1+2·2)/5
= (0, 1/5, 7/5)。
(4) 直線AB：
方向ベクトル = (−5,−8,−1)。
方程式：(x,y,z)=(3,5,2)+t(−5,−8,−1)。
(5) k=1 → C(1,2,1)。
AB=(−5,−8,−1), AC=(−2,−3,−1)。
法線=AB×AC=(5,7,−1)。
平面：5(x−3)+7(y−5)−(z−2)=0 → 5x+7y−z−48=0。
[4]
z=x³ − y² + 4xy − x。
(1) zₓ=3x²+4y−1, zᵧ=−2y+4x。
(2) zₓ=0, zᵧ=0
→ 3x²+4y−1=0, −2y+4x=0 → y=2x。
代入：3x²+8x−1=0 → x=(−8±√(64−12))/6=(−8±√52)/6=(−4±√13)/3。
y=2x。
(3) zₓₓ=6x, zᵧᵧ=−2, zₓᵧ=4。
(4) ヘッセ行列式H= zₓₓzᵧᵧ−(zₓᵧ)² = −12x−16。
x₁=(−4+√13)/3 → H<0 → 鞍点。
x₂=(−4−√13)/3, H>0 かつ zₓₓ<0 → 極大点。
(5) ∬_D (x³ − y² + 4xy − x) dxdy, D={0≤y≤x≤2}。
∫₀² ∫₀ˣ (x³ − y² + 4xy − x) dy dx
内側：∫₀ˣ (x³ − y² + 4xy − x) dy
= x³y − (1/3)y³ + 2x y² − xy |₀ˣ
= x⁴ − (1/3)x³ + 2x³ − x²
= x⁴ + (5/3)x³ − x²。
外側：∫₀² (x⁴ + (5/3)x³ − x²) dx
= [x⁵/5 + (5/12)x⁴ − (1/3)x³]₀²
= (32/5 + 20/3 − 8/3)
= 32/5 + 12/3
= 32/5 + 4
= 52/5。
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# ======================================
# [1]
# ======================================
# (1) log_5(1)
val1 = sp.log(1,5)
print(" =", val1)
# (2) recurrence a1=6, a_{k+1}=a_k+3k-2
a = [6]
for k in range(1,4):
a.append(a[-1] + 3*k - 2)
print(" a4 =", a[3])
# (3) derivative of f(x)=11*tan(e^(2x))
x = sp.symbols('x', real=True)
f = 11*sp.tan(sp.exp(2*x))
dfdx = sp.diff(f,x)
print(" f'(x) =", dfdx)
# (4) integral ∫0^(pi/3) 67x cos(2x) dx
res = sp.integrate(67*x*sp.cos(2*x),(x,0,sp.pi/3))
print(" =", sp.simplify(res))
# (5) inverse of A
A = sp.Matrix([[3,4],[1,7]])
A_inv = A.inv()
print(" A^-1 =", A_inv)
# ======================================
# [2]
# ======================================
t = sp.symbols('t', real=True)
x_func = sp.Function('x')
# (1) characteristic equation
r = sp.symbols('r')
char_eq = sp.Eq(r**2 + r - 6,0)
roots = sp.solve(char_eq,r)
print(" roots =", roots)
# (2) general solution homogeneous
C1,C2=sp.symbols('C1 C2')
x_h = C1*sp.exp(roots[0]*t) + C2*sp.exp(roots[1]*t)
print(" x_h =", x_h)
# (3) particular solution guess
A,B = sp.symbols('A B')
x_p = A*sp.cos(t)+B*sp.sin(t)
eq = sp.simplify(sp.diff(x_p,t,2)+sp.diff(x_p,t)-6*x_p - 2*sp.sin(t))
coeffs = sp.Poly(eq.expand(),[sp.cos(t),sp.sin(t)]).coeffs()
sol_AB = sp.solve(sp.Eq(eq,0),[A,B])
print(" A,B =", sol_AB)
# (4) general solution
x_gen = x_h + x_p.subs(sol_AB)
print(" x(t) =", x_gen)
# ======================================
# [3]
# ======================================
k = sp.symbols('k', real=True)
Apt = sp.Matrix([3,5,2])
Bpt = sp.Matrix([-2,-3,1])
Cpt = sp.Matrix([1,2,k])
O = sp.Matrix([0,0,0])
# (1) AC parallel OB
AC = Cpt - Apt
OB = Bpt - O
cond1 = sp.solve(sp.Eq(AC[2]/OB[2], AC[0]/OB[0]),k)
print(" k =", cond1)
# (2) AC dot OB = 0
cond2 = sp.solve(sp.Eq(AC.dot(OB),0),k)
print(" k =", cond2)
# (3) internal division 2:3
P = (3*Bpt + 2*Apt)/5
print(" P =", P)
# (4) line AB
d = Bpt - Apt
print(" line: (x,y,z)=(3,5,2)+t*", d)
# (5) plane through A,B,C for k=1
Cpt_k1 = sp.Matrix([1,2,1])
ABv = Bpt - Apt
ACv = Cpt_k1 - Apt
nvec = ABv.cross(ACv)
x,y,z = sp.symbols('x y z')
plane_eq = nvec.dot(sp.Matrix([x,y,z]) - Apt)
print(" plane =", sp.Eq(plane_eq,0))
# ======================================
# [4]
# ======================================
x,y = sp.symbols('x y', real=True)
z = x**3 - y**2 + 4*x*y - x
# (1) partial derivatives
zx = sp.diff(z,x)
zy = sp.diff(z,y)
print(" zx,zy =", zx, zy)
# (2) critical points
crit_pts = sp.solve([zx,zy],[x,y],dict=True)
print(" critical points =", crit_pts)
# (3) second derivatives
zxx = sp.diff(zx,x)
zyy = sp.diff(zy,y)
zxy = sp.diff(zx,y)
print(" zxx,zyy,zxy =", zxx, zyy, zxy)
# (4) classify
for pt in crit_pts:
H = zxx.subs(pt)*zyy.subs(pt) - zxy.subs(pt)**2
print(" pt",pt,"H=",H,"zxx=",zxx.subs(pt))
# (5) double integral
res2 = sp.integrate(sp.integrate(z,(y,0,x)),(x,0,2))
print(" double integral =", res2)
K高専
問題
- 次の問いに答えよ．(30点)
(1) 連立方程式
sin x + sin y = √3
cos x + cos y = 1
を解け。ただし、0 ≤ x, y ≤ 2π とする。
(2) 方程式
log₂(x − 2) = 6 + 2 log₂(x − 2)
を解け。
- 行列 A = ((5 −3), (7 −4)) について、次の問いに答えよ．(20点)
(1) A² および A³ を求めよ。
(2) A²⁰²4 を求めよ。
- 関数 f(x,y) = x³y + xy³ − xy について、次の問いに答えよ．(30点)
(1) 関数 f(x,y) の第2次偏微分係数をすべて求めよ。
(2) 関数 f(x,y) の極値を求めよ。
- 領域 D = { (x,y) | x² ≤ y, y² ≤ x } とする。このとき、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 領域 D を xy 平面に図示せよ。
(2) 重積分 ∬_D (x − y) dxdy の値を求めよ。
解説
(1) 連立方程式
sin x + sin y = √3
cos x + cos y = 1
解法
和積公式を使います。
sin x + sin y = 2 sin((x+y)/2) cos((x−y)/2)
cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)
よって
2 sin((x+y)/2) cos((x−y)/2) = √3
2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2) = 1
両辺を割り算すると
tan((x+y)/2) = √3
したがって (x+y)/2 = π/3 + nπ (n∈Z)
→ x+y = 2π/3 + 2nπ または x+y = 4π/3 + 2nπ
一方、cos((x−y)/2) を決めるために代入。
例: x+y = 2π/3 のとき、
2 cos(π/3) cos((x−y)/2) = 1 → cos((x−y)/2) = 1
つまり x−y = 0 + 4mπ → x=y。
このとき x=y=π/3 または x=y=5π/3 が候補。
両方とも条件を満たす。
答え: (x,y) = (π/3, π/3), (5π/3, 5π/3)
(2) log₂(x−2) = 6 + 2 log₂(x−2)
解法
右辺を整理:
log₂(x−2) − 2 log₂(x−2) = 6
−log₂(x−2) = 6
log₂(x−2) = −6
x−2 = 2^(−6) = 1/64
x = 2 + 1/64 = 129/64
答え: x = 129/64
- 行列 A = [[5, −3],[7, −4]]
(1) A² および A³
計算:
A² = [[5,−3],[7,−4]]·[[5,−3],[7,−4]]
= [[25−21, −15+12],[35−28, −21+16]]
= [[4, −3],[7, −5]]
A³ = A²·A
= [[4, −3],[7, −5]]·[[5,−3],[7,−4]]
= [[20−21, −12+12],[35−35, −21+20]]
= [[−1, 0],[0, −1]] = −I
答え:
A² = [[4, −3],[7, −5]], A³ = −I
(2) A²⁰²4
A³ = −I より A^6 = I。
つまり A^k は 6周期。
2024 ÷ 6 = 337 余り 2。
したがって A²⁰²4 = A²。
答え: [[4, −3],[7, −5]]
- f(x,y) = x³y + xy³ − xy
(1) 第2次偏微分
f_x = 3x²y + y³ − y
f_y = x³ + 3xy² − x
f_xx = 6xy
f_yy = 6xy
f_xy = f_yx = 3x² + 3y² − 1
答え:
f_xx = 6xy, f_yy = 6xy, f_xy = 3(x²+y²)−1
(2) 極値
停留点は f_x=0, f_y=0。
f_x = y(3x²+y²−1)=0
f_y = x(x²+3y²−1)=0
(1) y=0 の場合: f_y= x(x²−1)=0 → x=0, ±1
点: (0,0), (1,0), (−1,0)
(2) x=0 の場合: f_x = y(y²−1)=0 → y=0, ±1
点: (0,0), (0,1), (0,−1)
(3) その他: 3x²+y²=1, x²+3y²=1 を連立。
解くと (x,y)=(±1/2, ±1/2)
ヘッセ行列で判定:
H = f_xx f_yy − (f_xy)² = (6xy)² − (3(x²+y²)−1)²
計算すると:
・(0,0): H=−1<0 → 鞍点
・(±1,0),(0,±1): H=−1<0 → 鞍点
・(1/2,1/2): H=(6·1/4)² − (3·(1/4+1/4)−1)² = (9/4)² − (3·1/2−1)² = (81/16)−(3/2−1)²=(81/16)−(1/2)²=81/16−1/4=77/16>0, f_xx=6·1/4=3/2>0 → 極小
・(−1/2,−1/2): 同じ極小
・(1/2,−1/2)または(−1/2,1/2): f_xx=6·(1/2·−1/2)=−3/2, H>0, f_xx<0 → 極大
答え:
極小: (1/2,1/2), (−1/2,−1/2)
極大: (1/2,−1/2), (−1/2,1/2)
その他は鞍点
- 領域 D = {(x,y) | x² ≤ y, y² ≤ x}
(1) 図示
条件: y ≥ x² （放物線の上側）、かつ y² ≤ x → x ≥ y² （右向き放物線の内側）。
交点を求める: y = x² と x = y² を連立 → y = (y²)² = y⁴ → y⁴−y=0 → y(y³−1)=0 → y=0,1。
対応する点: (0,0), (1,1)。
領域は (0,0) と (1,1) の間に囲まれるレンズ型。
(2) 積分 ∬_D (x−y) dxdy
積分順序: xは y² ≤ x ≤ √y, yは0≤y≤1。
∫₀¹ ∫_{y²}^{√y} (x−y) dx dy
内側積分:
∫ (x−y) dx = (1/2)x² − yx |_{y²}^{√y}
= (1/2)(y) − y√y − [(1/2)(y⁴) − y·y²]
= (1/2)y − y^(3/2) − (1/2 y⁴ − y³)
= (1/2)y − y^(3/2) − 1/2 y⁴ + y³
外側積分: ∫₀¹ [(1/2)y − y^(3/2) + y³ − (1/2)y⁴] dy
= [1/4 y² − (2/5)y^(5/2) + 1/4 y⁴ − 1/10 y⁵]₀¹
= 1/4 − 2/5 + 1/4 − 1/10
= (1/4+1/4) − (2/5+1/10)
= 1/2 − (4/10+1/10) = 1/2 − 1/2 = 0
答え: 0
import sympy as sp
# =========================================
# 1-(1) Solve system of equations
# =========================================
x, y = sp.symbols('x y', real=True)
eqs = [
sp.Eq(sp.sin(x) + sp.sin(y), sp.sqrt(3)),
sp.Eq(sp.cos(x) + sp.cos(y), 1)
]
sol1 = sp.nsolve(eqs, (x,y), (1,1))
sol2 = sp.nsolve(eqs, (x,y), (5,5))
print("1-(1) solutions:", sol1, sol2)
# =========================================
# 1-(2) Solve log equation
# =========================================
eq2 = sp.Eq(sp.log(x-2,2), 6 + 2*sp.log(x-2,2))
sol_eq2 = sp.solve(eq2, x)
print("1-(2) solution:", sol_eq2)
# =========================================
# 2-(1) Matrix powers
# =========================================
A = sp.Matrix([[5,-3],[7,-4]])
A2 = A**2
A3 = A**3
print("2-(1) A^2 =", A2)
print("2-(1) A^3 =", A3)
# =========================================
# 2-(2) A^2024
# Since A^3 = -I, A^6 = I
A2024 = A**(2024 % 6)
print("2-(2) A^2024 =", A2024)
# =========================================
# 3-(1) Second derivatives
# =========================================
x,y = sp.symbols('x y', real=True)
f = x**3*y + x*y**3 - x*y
f_xx = sp.diff(f,x,2)
f_yy = sp.diff(f,y,2)
f_xy = sp.diff(f,x,y)
print("3-(1) f_xx=",f_xx," f_yy=",f_yy," f_xy=",f_xy)
# =========================================
# 3-(2) Critical points and classification
# =========================================
fx = sp.diff(f,x)
fy = sp.diff(f,y)
crit_pts = sp.solve([fx,fy],[x,y],dict=True)
print("3-(2) critical points:",crit_pts)
def classify(pt):
H = f_xx.subs(pt)*f_yy.subs(pt) - f_xy.subs(pt)**2
fxx_val = f_xx.subs(pt)
if H>0 and fxx_val>0: return "local min"
elif H>0 and fxx_val<0: return "local max"
elif H<0: return "saddle"
else: return "inconclusive"
for pt in crit_pts:
print(pt, classify(pt))
# =========================================
# 4-(2) Double integral
# =========================================
y = sp.symbols('y', real=True)
x = sp.symbols('x', real=True)
integrand = x - y
expr = sp.integrate(sp.integrate(integrand,(x,y**2, sp.sqrt(y))),(y,0,1))
print("4-(2) double integral =", expr)
問題
- 次の問いに答えよ．(60点)
(1) 方程式
log₂(x+2) = 3 − log₂2 を解け。
(2) 極限
lim (x→0) 11(x − sin x) / x³ を求めよ。
(3) (3x − 1/x)⁷ の展開式で x⁵ の係数を求めよ。
(4) 行列 [[4, a], [1, 3]] が逆行列をもたないような a の値を求めよ。
- 関数 f(x,y) = −x² + 2x − y² + 4y − 4 について、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 関数 f(x,y) の偏微分係数 fₓ(x,y), fᵧ(x,y) を求めよ。
(2) 条件 x² + y² = 1 のもとで、関数 f(x,y) の極値および極値を与える点の座標を求めよ。
- 領域 D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π/2 } とする。このとき、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 領域 D を xy 平面に図示せよ。
(2) 重積分 ∬_D e^(2x) sin y dxdy の値を求めよ。
解説
(1) 方程式 log₂(x+2) = 3 − log₂2 を解け。
右辺を整理：
3 − log₂2 = log₂(2³) − log₂2 = log₂8 − log₂2 = log₂(8/2) = log₂4
よって
log₂(x+2) = log₂4
→ x+2 = 4
→ x = 2
答え： x = 2
(2) 極限 lim (x→0) 11(x − sin x) / x³ を求めよ。
テイラー展開：
sin x = x − x³/6 + o(x³)
よって
x − sin x = x − (x − x³/6 + o(x³)) = x³/6 + o(x³)
したがって
(x − sin x)/x³ → 1/6 (x→0)
11倍して
11·(1/6) = 11/6
答え： 11/6
(3) (3x − 1/x)⁷ の展開式で x⁵ の係数を求めよ。
一般項：
(3x)^(7−k)(−1/x)^k = 3^(7−k)(−1)^k x^(7−k)·x^(−k)
= 3^(7−k)(−1)^k x^(7−2k)
これに組合せ係数 C(7,k) を掛ける：
一般項 = C(7,k) 3^(7−k)(−1)^k x^(7−2k)
x⁵ を得る条件：7−2k = 5 → 2k=2 → k=1
k=1 の項：
C(7,1) 3⁶(−1) x⁵ = 7·729·(−1) x⁵ = −5103 x⁵
答え： −5103
(4) 行列 [[4, a], [1, 3]] が逆行列をもたない a の値を求めよ。
逆行列をもたない ⇔ 行列式 det=0
det = 4·3 − a·1 = 12 − a
よって det=0 → a=12
答え： a = 12
- f(x,y) = −x² + 2x − y² + 4y − 4
(1) 偏微分
fₓ = −2x + 2
fᵧ = −2y + 4
答え： fₓ=−2x+2, fᵧ=−2y+4
(2) 条件 x²+y²=1 のもとで極値
ラグランジュ未定乗数法：
F(x,y,λ) = (−x²+2x−y²+4y−4) + λ(x²+y²−1)
∂F/∂x = −2x+2+2λx=0
→ (−2+2λ)x + 2=0 → x(λ−1)+1=0 → x=−1/(λ−1)
∂F/∂y = −2y+4+2λy=0
→ (−2+2λ)y+4=0 → y(λ−1)+2=0 → y=−2/(λ−1)
制約条件：x²+y²=1
代入：
[ (−1/(λ−1))² + (−2/(λ−1))² ] = 1
→ (1+4)/(λ−1)² = 1
→ 5/(λ−1)²=1 → (λ−1)²=5 → λ=1±√5
λ=1+√5 のとき：
x=−1/√5, y=−2/√5
λ=1−√5 のとき：
x=1/√5, y=2/√5
f(x,y) を計算：
f(−1/√5,−2/√5)= −(1/5)+(−2/√5)*4/?? → 正確に計算必要：
f(−1/√5,−2/√5)= −(1/5)+ (2/√5) − (4/5)+(−8/√5) −4
= (−1/5−4/5)+(2/√5−8/√5)−4 = −1 + (−6/√5) −4 = −5−6/√5
f(1/√5,2/√5)= −(1/5)+(2/√5) − (4/5)+(8/√5) −4
= −1 + (10/√5) −4 = −5+10/√5
10/√5 = 10/2.236…≈4.472 →値= −0.528
したがって：
最小値= −5−6/√5
最大値= −5+10/√5
答え：
最大値 −5+10/√5, 点 (1/√5,2/√5)
最小値 −5−6/√5, 点 (−1/√5,−2/√5)
- 領域 D = { (x,y)| 0≤x≤2, 0≤y≤π/2 }
(1) 領域図
x軸上で 0≤x≤2 の区間と、y軸上で 0≤y≤π/2 の区間を持つ長方形領域。
(2) ∬_D e^(2x) sin y dxdy
積分は分離可能：
∬_D e^(2x) sin y dxdy = (∫₀² e^(2x) dx)(∫₀^(π/2) sin y dy)
まず ∫₀² e^(2x) dx = [ (1/2) e^(2x) ]₀² = (1/2)(e⁴−1)
次に ∫₀^(π/2) sin y dy = [−cos y]₀^(π/2) = 1
したがって答えは (1/2)(e⁴−1)
答え： (e⁴−1)/2
import sympy as sp
# シンボル定義
x, y, a, lam = sp.symbols('x y a lam')
# =========================
# 問1(1) 方程式 log₂(x+2) = 3 - log₂2
# =========================
eq1 = sp.Eq(sp.log(x+2, 2), 3 - sp.log(2, 2))
sol1 = sp.solve(eq1, x)
# =========================
# 問1(2) 極限 lim_{x→0} 11(x - sin x)/x³
# =========================
limit_val = sp.limit(11*(x - sp.sin(x))/x**3, x, 0)
# =========================
# 問1(3) (3x - 1/x)^7 の展開式で x^5 の係数
# =========================
expr = (3*x - 1/x)**7
coeff_x5 = sp.expand(expr).coeff(x, 5)
# =========================
# 問1(4) 行列 [[4, a],[1,3]] が逆行列をもたない条件
# det=0 → a の値
# =========================
M = sp.Matrix([[4, a],[1,3]])
det_val = sp.simplify(M.det())
a_val = sp.solve(sp.Eq(det_val, 0), a)
# =========================
# 問2(1) f(x,y) = -x² + 2x - y² + 4y - 4 の偏微分
# =========================
f = -x**2 + 2*x - y**2 + 4*y - 4
fx = sp.diff(f, x)
fy = sp.diff(f, y)
# =========================
# 問2(2) 制約条件 x²+y²=1 での極値
# Lagrange 乗数法
# =========================
constraint = x**2 + y**2 - 1
F = f + lam*constraint
eqs = [sp.diff(F, v) for v in (x, y)]
eqs.append(constraint)
sol2 = sp.solve(eqs, (x, y, lam), dict=True)
extrema = [(s[x], s[y], f.subs({x:s[x], y:s[y]})) for s in sol2]
# =========================
# 問3(2) 重積分 ∬ e^(2x) sin y dxdy (D:0≤x≤2,0≤y≤π/2)
# =========================
integrand = sp.exp(2*x)*sp.sin(y)
I = sp.integrate(sp.integrate(integrand, (y, 0, sp.pi/2)), (x, 0, 2))
# =========================
# 結果まとめ
# =========================
results = {
"問1(1) 解": sol1,
"問1(2) 極限": limit_val,
"問1(3) x^5 の係数": coeff_x5,
"問1(4) a の値": a_val,
"問2(1) 偏微分": (fx, fy),
"問2(2) 極値": extrema,
"問3(2) 重積分": I
}
results
問題
- 次の問いに答えよ．(30点)
(1) 方程式
4^(x−3)・2^(x+1) + 8 = 0 を解け。
(2) 級数
Σ (n=1→∞) (1+2+…+n) / (1³+2³+…+n³)
の収束・発散を調べ、収束するときはその値を求めよ。
- 次の問いに答えよ．(30点)
(1) 方程式 x³ + 3x² − 24x + α = 0 が異なる3つの実数解をもつような実数 α の値の範囲を求めよ。
(2) 連立方程式
x + y − 3z = −2
5x + y − 11z = 12
x − 2y + z = 2
を解け。
- 条件 x² + y² = 1 のもとで、関数 f(x,y) = x² − xy + y² の最大値および最小値を求め、それらを与える点の座標を求めよ。ただし、f(x,y) は最大値・最小値をもつとしてよい。(20点)
- 曲線 y = √x と直線 y = x で囲まれた図形を D とする。このとき、D を x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。(20点)
問題
- 次の問いに答えよ．(30点)
(1) 連立方程式
cos x + cos y = √3
sin x + sin y = 1
を解け。ただし 0 ≤ x, y ≤ 2π とする。
(2) 方程式
4·2^(x−2) − 2^(x+1) − 8 = 0
を解け。
- 行列 A = ((0 2), (−3 0)) について、次の問いに答えよ．(30点)
(1) P⁻¹AP が対角行列になるような正方行列 P を求め、A を対角化せよ。
ただし P のすべての成分は正の整数で、|P|=1 を満たすものとする。
(2) Aⁿ を求めよ。ただし n は正の整数とする。
- 2変数関数 f(x,y) = 2x³ + 6xy² − 3x² + 3y² について、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 関数 f(x,y) の第2次偏微分係数をすべて求めよ。
(2) 関数 f(x,y) の極値および極値を与える点の座標を求めよ。
- 領域 D を D = {(x,y)| 1 ≤ y, 1 ≤ x² + y² ≤ 4} とする。このとき、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 領域 D を xy 平面に図示せよ。
(2) 重積分 ∬_D (1 / (x² + y²)) dxdy の値を求めよ。
問題
- 次の問いに答えよ．(60点)
(1) 5^2024 は何桁の整数か求めよ。
ただし、log₁₀2 = 0.3010 としてよい。
(2) 極限
lim (x→0) (sin⁻¹(2x)) / (3x) を求めよ。
(3) (x − 2y)^2024 の展開式で x^2022 y² の係数を求めよ。
(4) 2次正方行列 A は
A (3, −5)^T = (1, −1)^T,
A (2, 7)^T = (4, 2)^T
を満たすものとする。このとき、行列 A を求めよ。
- g(x,y) = x² + y² − 5, f(x,y) = 2x² − y² − 4xy について、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 関数 g(x,y), f(x,y) の偏微分関数 gₓ(x,y), gᵧ(x,y), fₓ(x,y), fᵧ(x,y) を求めよ。
(2) 条件 g(x,y)=0 のもとで、関数 f(x,y) の最大値および最小値を求めよ。
ただし、最大値と最小値はもつとしなさい。
- 領域 D を D = { (x,y) | 2 ≤ x² + y² ≤ 3 } とする。このとき、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 領域 D を xy 平面に図示せよ。
(2) 重積分 ∬_D x² y² dxdy の値を求めよ。
問題
- 次の問いに答えよ．(60点)
(1) (2^(log₂3))^(log₃√5) の値を求めよ。
(2) 方程式 sin x + sin 3x = 0 を解け。ただし、0 ≤ x < 2π とする。
(3) 微分方程式 dy/dx = 2y を解け。
(4) 行列 A = ((2,5),(4,2)) の固有値を求めよ。
- 関数 f(x,y) = x² + y² − xy について、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 関数 f(x,y) の第2次偏微分係数をすべて求めよ。
(2) 関数 f(x,y) の極値および極値を与える点の座標を求めよ。
- 領域 D を D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, √x ≤ y ≤ 1 } とする。このとき、次の問いに答えよ．(20点)
(1) 領域 D を xy 平面に図示せよ。
(2) 重積分 ∬_D x√y dxdy の値を求めよ。