工学的に意味がある微分積分極限の問題

Last updated at 2025-09-14Posted at 2025-09-13

1. 例題1：加法定理と波の干渉

問題

異なる周波数を持つ2つの正弦波の和 $y(t) = \sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)$ について、加法定理で整理し、速度 $\frac{dy}{dt}$ の微分と積分を求めます。

解答と解説

1. 加法定理による整理

正弦波の和を積の形に変換する和積公式を用います。これは、加法定理から導出されます。
$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
この公式で $A = \omega_1 t$、$B = \omega_2 t$ とすると、
$y(t) = 2 \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$
この式は、平均周波数 $\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ の正弦波が、差周波数 $\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ の余弦波によって振幅変調されていることを示しています。これはうなり現象の数学的表現です。

2. 速度 $\frac{dy}{dt}$ の計算

$y(t)$ を時間 $t$ で微分します。積の微分公式 $\frac{d}{dt}(fg) = f'g + fg'$ を用います。
ここで、$f(t) = \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$、$g(t) = \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$ とおきます。

$f'(t) = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$
$g'(t) = -\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \sin\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$
したがって、
$\frac{dy}{dt} = 2 \left[ \frac{\omega_1+\omega_2}{2} \cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right) - \frac{\omega_1-\omega_2}{2} \sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right) \right]$
$= (\omega_1+\omega_2) \cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right) - (\omega_1-\omega_2) \sin\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)$

この複雑な式は、微分演算の定義から得られる2つの余弦波の和として簡潔に表現できます。
$\frac{d}{dt}\left(\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t)\right) = \omega_1 \cos(\omega_1 t) + \omega_2 \cos(\omega_2 t)$

3. 速度 $\frac{dy}{dt}$ の積分

速度を積分して元の変位に戻すには、微分の逆演算を行います。
$\int \frac{dy}{dt} dt = \int (\omega_1 \cos(\omega_1 t) + \omega_2 \cos(\omega_2 t)) dt$
$= \omega_1 \int \cos(\omega_1 t) dt + \omega_2 \int \cos(\omega_2 t) dt$
$= \omega_1 \left( \frac{1}{\omega_1} \sin(\omega_1 t) \right) + \omega_2 \left( \frac{1}{\omega_2} \sin(\omega_2 t) \right) + C$
$= \sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t) + C$
積分定数 $C$ を無視すると、元の式 $y(t)$ に戻ります。

2. 例題2：2倍角の公式と振動エネルギー

問題: 振動エネルギーを表す関数 $E(t) = k\cos^2(\omega t)$ を2倍角の公式で変形し、時間微分します。
解説:
- (1) 2倍角の公式による変形:
  $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ より、$\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ となります。これに$\theta = \omega t$ を代入し、$E(t) = \frac{k}{2}(1 + \cos(2\omega t))$ と変形できます。これは、エネルギーが直流成分 $\frac{k}{2}$ と、元の周波数の2倍である$2\omega$で振動する成分で構成されていることを示します。
- (2) 時間微分:
  $\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\frac{k}{2}(1 + \cos(2\omega t))\right]$ を計算します。定数項の微分は$0$、$\frac{d}{dt}\cos(at) = -a\sin(at)$ なので、$\frac{dE}{dt} = \frac{k}{2}(-2\omega \sin(2\omega t)) = -k\omega\sin(2\omega t)$ となります。

3. 例題3：半角の公式と単調性

問題: 関数 $f(t) = \tan\left(\frac{\omega t}{2}\right)$ を微分し、その導関数が常に正であることを示します。
解説:
- (1) 微分:
  合成関数の微分公式 $\frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t)) \cdot g'(t)$ を用います。$f(u)=\tan(u)$、 $u=\frac{\omega t}{2}$ とすると、$\frac{d}{du}\tan(u) = \sec^2(u)$、$\frac{du}{dt} = \frac{\omega}{2}$ なので、$\frac{df}{dt} = \sec^2\left(\frac{\omega t}{2}\right) \cdot \frac{\omega}{2} = \frac{\omega}{2}\sec^2\left(\frac{\omega t}{2}\right)$ となります。
- (2) 導関数の正負:
  $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ であり、$\sec^2(x)$ は常に正の値 ($>0$) をとります。これは、二乗によって常に正になるためです。したがって、$\frac{df}{dt} = \frac{\omega}{2}\sec^2\left(\frac{\omega t}{2}\right)$ は、$\omega>0$ の場合常に正となり、関数が単調増加であることを示します。

4. 例題4：積和公式と変調信号

問題: 搬送波と変調波の積 $s(t) = \sin(\omega_c t)\cos(\omega_m t)$ を積和公式で展開し、微分します。
解説:
- (1) 積和公式による展開:
  $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を適用します。$A=\omega_c t$、$B=\omega_m t$ とすると、$s(t) = \frac{1}{2}[\sin((\omega_c+\omega_m)t) + \sin((\omega_c-\omega_m)t)]$ となります。これは、元の信号が、和周波数と差周波数を持つ2つの正弦波の和として表されることを示しています。これは無線通信における変調の基礎となります。
- (2) 微分:
  $\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}\left(\sin((\omega_c+\omega_m)t) + \sin((\omega_c-\omega_m)t)\right)\right]$ を計算します。$\frac{d}{dt}\sin(at) = a\cos(at)$ を各項に適用すると、$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}[(\omega_c+\omega_m)\cos((\omega_c+\omega_m)t) + (\omega_c-\omega_m)\cos((\omega_c-\omega_m)t)]$ となります。

5. 例題5：和積公式とビート現象

問題: 2つの正弦波の差 $y(t) = \sin(\omega_1 t) - \sin(\omega_2 t)$ を和積公式で整理し、微分します。
解説:
- (1) 和積公式による整理:
  和積の公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ を用います。$A=\omega_1 t$、$B=\omega_2 t$ とすると、$y(t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)$ となります。これもビート現象を記述する式であり、周波数の平均値 $(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})$ で振動する波が、周波数の差の半分 $(\frac{\omega_1-\omega_2}{2})$ でゆっくりと振幅変調される様子を表します。
- (2) 微分:
  $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[\sin(\omega_1 t) - \sin(\omega_2 t)]$ を計算します。$\frac{dy}{dt} = \omega_1\cos(\omega_1 t) - \omega_2\cos(\omega_2 t)$ となります。

6. 例題6：振り子の角度 (arcsin)

問題: 振り子の角度など、逆正弦関数で表される関係 $f(x) = \arcsin(x)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 微分:
  逆関数の微分公式 $\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。この式は、振り子の速度が平衡点（$x=0$）で最大となり、端点（$x=\pm 1$）でゼロになる物理的な振る舞いを表しています。
- 積分:
  部分積分法 $\int u,dv = uv - \int v,du$ を用いて計算できます。$u = \arcsin(x)$, $dv=dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$, $v=x$ となり、$\int \arcsin(x) dx = x\arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ となります。後者の積分を置換積分で解くと、最終的に $\int \arcsin(x) dx = x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$ が得られます。

7. 例題7：ロボットアームの角度 (arccos)

問題: ロボットアームの角度など、逆余弦関数で表される関係 $g(x) = \arccos(x)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 微分:
  逆関数の微分公式 $\frac{d}{dx}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ を用います。この微分は$\arcsin(x)$の微分と似ていますが、符号が負になるのは、$\arccos(x)$ が $x$ の増加とともに減少するためです。
- 積分:
  例題6と同様に部分積分法を用いて計算できます。$u=\arccos(x)$, $dv=dx$ とすると、$\int \arccos(x) dx = x\arccos(x) - \int \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ となり、最終的に $\int \arccos(x) dx = x\arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C$ が得られます。

8. 例題8：回路の位相差 (arctan)

問題: RL直列回路の位相差など、逆正接関数で表される関係 $h(x) = \arctan(x)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 微分:
  逆関数の微分公式 $\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$ を用います。この関数は、交流回路における抵抗とリアクタンスの比率に応じて位相がどのように変化するかを記述します。
- 積分:
  部分積分法を用いて計算できます。$u=\arctan(x)$, $dv=dx$ とすると、$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2}dx$ となります。後者の積分は、分母の微分が分子に現れる形なので、$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)|$ を用いると、最終的に $\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$ が得られます。

9. 例題9：時間発展と逆双曲線関数

問題: 時間発展を記述する双曲線正弦関数 $\sinh(\omega t)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 関数:
  $\sinh(\omega t) = \frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2}$ と定義されます。この関数は、放物線運動や、特定の物理システムでの指数関数的な成長と減衰の組み合わせを表すのに使われます。
- 微分:
  $\frac{d}{dt}\sinh(\omega t) = \frac{d}{dt}\left[\frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2}\right] = \frac{1}{2}(\omega e^{\omega t} - (-\omega)e^{-\omega t}) = \frac{\omega}{2}(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) = \omega\cosh(\omega t)$ となります。
- 積分:
  $\int \sinh(\omega t) dt = \int \frac{e^{\omega t} - e^{-\omega t}}{2} dt = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\omega}e^{\omega t} - \frac{1}{-\omega}e^{-\omega t}\right) = \frac{1}{\omega}\frac{e^{\omega t} + e^{-\omega t}}{2} = \frac{1}{\omega}\cosh(\omega t) + C$ となります。

10. 例題10：カテナリー曲線

問題: 鎖をぶら下げたときにできる曲線（カテナリー曲線）を表す関数 $y(x) = a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 微分:
  合成関数の微分を用いて、$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)] = a\left(\sinh\left(\frac{x}{a}\right) \cdot \frac{1}{a}\right) = \sinh\left(\frac{x}{a}\right)$ となります。
- 積分:
  $\int a\cosh\left(\frac{x}{a}\right) dx$ は、$\int \cosh(u) du = \sinh(u)$ を用いて計算できます。$u=\frac{x}{a}$ と置換すると、$du = \frac{1}{a}dx \implies dx=adu$ となり、$\int a\cosh(u) (adu) = a^2\int \cosh(u)du = a^2\sinh(u) + C = a^2\sinh\left(\frac{x}{a}\right) + C$ となります。

11. 例題11：磁化の飽和と逆双曲線関数

問題: 強磁性体の磁化曲線に見られる飽和現象を表す関数 $M(H) = M_s\tanh\left(\frac{H}{H_0}\right)$ の微分と積分を求めます。
解説:
- 微分:
  合成関数の微分を用いて、$\frac{dM}{dH} = \frac{d}{dH}[M_s\tanh\left(\frac{H}{H_0}\right)] = M_s \cdot \text{sech}^2\left(\frac{H}{H_0}\right) \cdot \frac{1}{H_0} = \left(\frac{M_s}{H_0}\right)\text{sech}^2\left(\frac{H}{H_0}\right)$ となります。
- 積分:
  $\int M_s\tanh\left(\frac{H}{H_0}\right) dH$ は、$\int \tanh(u) du = \ln|\cosh(u)|$ を用いて計算できます。$u=\frac{H}{H_0}$ と置換すると、$\int M_s\tanh(u) (H_0 du) = M_s H_0 \int \tanh(u)du = M_s H_0 \ln(\cosh(u)) + C = M_s H_0 \ln\left(\cosh\left(\frac{H}{H_0}\right)\right) + C$ となります。

例題12

(1) 等加速度運動

問題: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
(a) 速度 $dx/dt$ を求めよ。
(b) 加速度 $d^2x/dt^2$ を求めよ。

解説:
(a) 速度は、位置 $x(t)$ を時間 $t$ で微分することで得られます。
$x_0$ ($t$ に依存しない定数) の微分は 0、 $v_0 t$ の微分は $v_0$、 $\frac{1}{2} a t^2$ の微分は $\frac{1}{2} a (2t) = at$ です。
したがって、$ \frac{dx}{dt} = 0 + v_0 + at = v_0 + at $ となります。
(b) 加速度は、速度をさらに時間 $t$ で微分することで得られます。
$v_0$ (定数) の微分は 0、$at$ の微分は $a$ です。
したがって、$ \frac{d^2x}{dt^2} = 0 + a = a $ となります。これは、この運動が一定の加速度 $a$ を持つことを示しています。

(2) 一次遅れ応答

問題: $x(t) = 1 - e^{-t/T}$
(a) $dx/dt$ を求めよ。
(b) $d^2x/dt^2$ を求めよ。

解説:
(a) 1回微分 $dx/dt$ を求めます。
定数 1 の微分は 0 です。$e^{-t/T}$ の微分は、チェーンルールを用いて $\frac{d}{dt}e^u = e^u \frac{du}{dt}$ で計算します。ここで $u = -t/T$ なので、$\frac{du}{dt} = -1/T$ です。
したがって、$\frac{d}{dt}(-e^{-t/T}) = -e^{-t/T} \cdot (-\frac{1}{T}) = \frac{1}{T} e^{-t/T}$ となります。
よって、$ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{T} e^{-t/T} $ となります。この速度は $t=0$ で最大値 $1/T$ となり、時間が経つにつれて指数関数的に0に収束します。
(b) 2回微分 $d^2x/dt^2$ を求めます。
(a) で求めた速度を再度微分します。$\frac{1}{T}$ は定数です。
$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{T} e^{-t/T}\right) = \frac{1}{T} \cdot e^{-t/T} \cdot (-\frac{1}{T}) = -\frac{1}{T^2} e^{-t/T}$ となります。
よって、$ \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{T^2} e^{-t/T} $ となります。この値は常に負の値をとり、時間とともに0に近づきます。

(3) 指数減衰（放射性崩壊・細胞減衰）

問題: $x(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
(a) $dx/dt$ を求めよ。
(b) $d^2x/dt^2$ を求めよ。

解説:
(a) 1回微分 $dx/dt$ を求めます。
$N_0$ は定数です。$e^{-\lambda t}$ の微分は、チェーンルールにより $e^{-\lambda t} \cdot (-\lambda)$ となります。
したがって、$ \frac{dx}{dt} = N_0 \cdot (-\lambda) e^{-\lambda t} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} $ となります。
この式は、変化の割合が常に負の値であり、現在の量 $x(t)$ に比例して減少することを示しています。
(b) 2回微分 $d^2x/dt^2$ を求めます。
(a) で求めた式を再度微分します。
$\frac{d}{dt}\left(-\lambda N_0 e^{-\lambda t}\right) = -\lambda N_0 \cdot e^{-\lambda t} \cdot (-\lambda) = \lambda^2 N_0 e^{-\lambda t}$ となります。
よって、$ \frac{d^2x}{dt^2} = \lambda^2 N_0 e^{-\lambda t} $ となります。この値は常に正の値をとり、時間とともに0に収束します。

(4) 単振動（初期値 $x_0$, $v_0$ の一般解）

問題: $x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$
(a) $dx/dt$ を求めよ。
(b) $d^2x/dt^2$ を求めよ。

解説:
(a) 速度 $dx/dt$ を求めます。
$\frac{d}{dt}\cos(\omega t) = -\omega \sin(\omega t)$、$\frac{d}{dt}\sin(\omega t) = \omega \cos(\omega t)$ なので、
$\frac{dx}{dt} = x_0 (-\omega \sin(\omega t)) + \frac{v_0}{\omega} (\omega \cos(\omega t)) = -x_0 \omega \sin(\omega t) + v_0 \cos(\omega t)$ となります。
(b) 加速度 $d^2x/dt^2$ を求めます。
速度の式を再度微分します。
$\frac{d^2x}{dt^2} = -x_0 \omega (\omega \cos(\omega t)) + v_0 (-\omega \sin(\omega t)) = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t) - v_0 \omega \sin(\omega t)$
この式を $-\omega^2$ でくくると、
$\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 \left( x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t) \right)$
括弧の中は元の関数 $x(t)$ そのものであるため、単振動の運動方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x(t)$ が満たされていることが分かります。

(5) 三角関数の合成

問題: $y(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ を振幅 $R$ と位相 $\varphi$ を用いて1つの余弦関数にまとめよ。

解説:
この合成は、直角三角形を使って考えると分かりやすいです。
$A$ と $B$ を直角を挟む2辺、そして $R$ を斜辺と見なします。
このとき、三平方の定理から斜辺の長さ $R$ は $R^2 = A^2 + B^2$ で求められ、振幅 $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ となります。
また、位相 $\varphi$ は $\tan\varphi = \frac{B}{A}$ を満たします。
これらの関係を用いて、$y(t)$ を1つの余弦関数に合成できます。
$y(t) = R \cos(\omega t - \varphi) $
ここで、加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$ を用いると、
$R \cos(\omega t - \varphi) = R (\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi)$
$= (R \cos\varphi) \cos(\omega t) + (R \sin\varphi) \sin(\omega t)$
この式と元の式 $y(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ を比較すると、$A = R \cos\varphi$ かつ $B = R \sin\varphi$ となり、冒頭の関係式が導き出されます。
これにより、2つの異なる位相の振動が1つの合成された振動として表現できるのです。

例題13

(1) ロジスティック関数（NOT回路の出力特性）

問題

$$
V_{\text{out}}(V_{\text{in}}) = \frac{V_{DD}}{1 + e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k}}
$$

(a) 1回微分
(b) 2回微分
(c) 積分

解説

(a) 微分はチェインルールを用いる。分母に指数関数を含むので、典型的なシグモイド関数の微分公式が使える。

$$
\frac{dV_{\text{out}}}{dV_{\text{in}}}
= \frac{V_{DD}}{k} \cdot \frac{e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k}}{\left(1+e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k}\right)^2}
$$

(b) さらに1回微分すると積の微分が必要。

$$
\frac{d^2V_{\text{out}}}{dV_{\text{in}}^2}
= \frac{V_{DD}}{k^2} \cdot
\frac{e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k} \left( e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k} - 1 \right)}{\left(1+e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k}\right)^3}
$$

これは「シグモイドの変曲点が1点存在する」ことを示す。

$$
\int V_{\text{out}} , dV_{\text{in}}
= V_{DD} \Big[ V_{\text{in}} + k \ln\big(1+e^{-(V_{\text{in}}-V_{th})/k}\big) \Big] + C
$$

👉 この関数はスイッチング回路の入出力遷移を表す。

(2) dB関数

問題

$$
y(x) = 20 \log_{10}(x)
$$

(a) 微分
(b) 積分
(c) 区間積分（1〜10）

解説

(a) $\log_{10}x = \ln x / \ln 10$ を利用。

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{20}{x \ln 10}
$$

(b) 積分は $\int \ln x , dx = x \ln x - x$ を使う。

$$
\int y(x) , dx = \frac{20}{\ln 10}(x \ln x - x) + C
$$

$$
\int_1^{10} 20 \log_{10}x , dx
= \frac{20}{\ln 10} \big[ (10 \ln 10 - 10) - (0 - 1) \big]
= \frac{20}{\ln 10} (10 \ln 10 - 9)
$$

👉 dB曲線の面積評価に対応。

(3) 倍関数（dBの逆関数）

問題

$$
x(y) = 10^{y/20}
$$

(a) 微分
(b) 積分
(c) 区間積分（0〜20）

解説

(a) 指数関数の微分。

$$
\frac{dx}{dy} = \frac{\ln 10}{20} \cdot 10^{y/20}
$$

(b) 積分。

$$
\int x(y) , dy = \frac{20}{\ln 10} \cdot 10^{y/20} + C
$$

$$
\int_0^{20} 10^{y/20} dy
= \frac{20}{\ln 10}(10 - 1)
= \frac{180}{\ln 10}
$$

👉 対数⇔線形変換の定量評価。

(4) 減衰サイン関数

$$
x(t) = e^{-\alpha t} \sin(\omega t)
$$

(a) 微分

$$
\frac{dx}{dt} = e^{-\alpha t}(\omega \cos(\omega t) - \alpha \sin(\omega t))
$$

(b) 積分

$$
\int x(t) , dt = \frac{e^{-\alpha t}}{\alpha^2 + \omega^2}(-\alpha \sin(\omega t) - \omega \cos(\omega t)) + C
$$

👉 振動しながら減衰する信号の解析に用いる。

(5) 減衰コサイン関数

$$
y(t) = e^{-\alpha t} \cos(\omega t)
$$

(a) 微分

$$
\frac{dy}{dt} = e^{-\alpha t}(-\alpha \cos(\omega t) - \omega \sin(\omega t))
$$

(b) 積分

$$
\int y(t) , dt = \frac{e^{-\alpha t}}{\alpha^2 + \omega^2}(-\alpha \cos(\omega t) + \omega \sin(\omega t)) + C
$$

(6)

数学的解説

直接 $t=0$ を代入すると $\sin 0 / 0 = 0/0$ という「不定形」になる。
この場合、極限の基本公式を利用する。
三角関数の近似：$\sin t \approx t$（$t \to 0$ のとき）
よって

$$
\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
$$

工学的意味

微小角近似として使う。
例：ラジアンが非常に小さいとき、$\sin \theta \approx \theta$。
振動解析や波動方程式の近似に必須。

(7)

数学的解説

$e^{-t/T}$ は $t \to \infty$ で $0$ に収束。
よって

$$
\lim_{t \to \infty} (1 - e^{-t/T}) = 1 - 0 = 1
$$

工学的意味

一次遅れ系（RC回路、温度応答など）のステップ応答。
時間が十分経過すると出力は最終値に収束する → 定常応答。

(8)

数学的解説

$\lambda > 0$ の場合、指数関数 $e^{-\lambda t}$ は $t \to \infty$ で $0$ になる。
よって

$$
\lim_{t \to \infty} N_0 e^{-\lambda t} = 0
$$

工学・物理的意味

放射性崩壊、コンデンサの放電、人口減少モデルなど。
時間が経つと「指数的に減少」し、最終的にゼロに近づく。

(9)

数学的解説

分母・分子を $A$ で割る：

$$
\frac{A}{BA+1} = \frac{1}{B + \frac{1}{A}}
$$
$A \to \infty$ で $\frac{1}{A} \to 0$。
よって

$$
\lim_{A \to \infty} \frac{A}{BA+1} = \frac{1}{B}
$$

工学的意味

伝達関数や利得の極限でよく現れる。
入力が非常に大きいときの「飽和値」や「漸近特性」を示す。
例えばオペアンプ回路の増幅率の上限に対応。

👉 信号処理・制御工学の基礎公式。

(10) 直列抵抗の極限

$$
R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}
$$

$R_1 \to \infty \Rightarrow R_{eq} \to R_2$
$R_2 \to \infty \Rightarrow R_{eq} \to R_1$
$R_1 \to 0 \Rightarrow R_{eq} \to 0$

👉 回路の直感的極限挙動を理解できる。

(11)

【問題】

関数

$$
f(t) = \sin(10000\pi t) + \sin(0.0001\pi t)
$$

について、次を求めよ。ただし、微分や積分で現れる項のうち、振幅が 0.1 より小さいものは無視してよい。

$f(t)$ を $t$ で微分せよ。
$f(t)$ を $t$ で積分せよ。

【解説】

(a) 微分

まず、各項をそれぞれ微分する。

$$
\frac{df}{dt} = \frac{d}{dt}\sin(10000\pi t) + \frac{d}{dt}\sin(0.0001\pi t)
$$

$$
= 10000\pi \cos(10000\pi t) + 0.0001\pi \cos(0.0001\pi t)
$$

ここで、係数の大きさに注目する。

第1項の係数：$10000\pi \approx 31415.9$
第2項の係数：$0.0001\pi \approx 0.000314$

第2項の振幅は 0.0003 < 0.1 なので無視できる。

したがって近似式は：

$$
\frac{df}{dt} \approx 10000\pi \cos(10000\pi t)
$$

(b) 積分

次に積分を行う。

$$
\int f(t),dt = \int \sin(10000\pi t),dt + \int \sin(0.0001\pi t),dt
$$

それぞれ計算すると：

$$
\int \sin(10000\pi t),dt = -\frac{1}{10000\pi} \cos(10000\pi t)
$$

$$
\int \sin(0.0001\pi t),dt = -\frac{1}{0.0001\pi} \cos(0.0001\pi t)
$$

まとめると：

$$
\int f(t),dt = -\frac{1}{10000\pi}\cos(10000\pi t) - \frac{1}{0.0001\pi}\cos(0.0001\pi t) + C
$$

数値的に確認すると：

第1項の係数：$\frac{1}{10000\pi} \approx 3.18 \times 10^{-5}$（非常に小さい）
第2項の係数：$\frac{1}{0.0001\pi} \approx 3183$（非常に大きい）

ここで「係数の絶対値が0.1未満なら無視」という条件に従うと、第1項は残せる（0.00003 < 0.1）が、近似的に無視しても良い。第2項は大きいため残す必要がある。

したがって近似式は：

$$
\int f(t),dt \approx -\frac{1}{10000\pi}\cos(10000\pi t) - \frac{1}{0.0001\pi}\cos(0.0001\pi t) + C
$$

【工学的意味】

微分（速度や変化率）
- 高周波成分（10000π）の影響が非常に大きい。
- 低周波成分（0.0001π）は無視できる。
  👉 微分は「高周波を強調する」働きを持つことが確認できる。
積分（累積量や面積）
- 逆に低周波成分の係数が巨大化し、支配的になる。
- 高周波成分は分母に大きな数がつくため無視できる。
  👉 積分は「低周波を強調する」働きを持つことが確認できる。

例題14

【問題1】シグモイド関数

f(x) = 1 / (1 + e^(-x))

(a) 微分

シグモイド関数の特徴として「自身を使った微分公式」が成り立ちます。

f'(x) = f(x) (1 - f(x))

(b) 2回微分

f''(x) = f'(x) (1 - 2 f(x))
       = f(x) (1 - f(x)) (1 - 2 f(x))

(c) 積分

∫ f(x) dx = ln(1 + e^x) + C

（これはソフトプラス関数）

【問題2】双曲線正接関数 (tanh)

f(x) = tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

(a) 微分

f'(x) = 1 - tanh²(x)

(b) 2回微分

f''(x) = -2 tanh(x) (1 - tanh²(x))

(c) 積分

∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C

【問題3】ソフトプラス関数

f(x) = ln(1 + e^x)

(a) 微分

f'(x) = e^x / (1 + e^x) = 1 / (1 + e^(-x))   （シグモイド関数）

(b) 2回微分

f''(x) = f'(x) (1 - f'(x))

問題：減衰振動の変位

$x(t) = e^{-\zeta\omega t} \left[ x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t) \right]$

ここで、

$\zeta$: 減衰係数
$\omega$: 固有角周波数
$\omega_d$: 減衰角周波数

(1) 微分問題：速度 $v(t)$

減衰振動の速度は、変位の式を時間 $t$ で微分することで求められます。
これは積の微分公式 $\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)$ を用いて計算します。
ここで、$f(t) = e^{-\zeta\omega t}$、 $g(t) = x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t)$ とします。

$f(t)$ の微分:
$f'(t) = \frac{d}{dt}(e^{-\zeta\omega t}) = (-\zeta\omega)e^{-\zeta\omega t}$
$g(t)$ の微分:
$g'(t) = \frac{d}{dt}\left(x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t)\right) = -x_0 \omega_d \sin(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} (\omega_d \cos(\omega_d t)) = -x_0 \omega_d \sin(\omega_d t) + v_0 \cos(\omega_d t)$
積の微分公式の適用:
$v(t) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)$
$v(t) = (-\zeta\omega)e^{-\zeta\omega t} \left[ x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t) \right] + e^{-\zeta\omega t} \left[ -x_0 \omega_d \sin(\omega_d t) + v_0 \cos(\omega_d t) \right]$
$e^{-\zeta\omega t}$ でくくり出す:
$v(t) = e^{-\zeta\omega t} \left[ -\zeta\omega \left( x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t) \right) - x_0 \omega_d \sin(\omega_d t) + v_0 \cos(\omega_d t) \right]$

これは与えられた解答と一致します。この結果は、減衰振動の速度が、元の変位に加えて位相がずれた成分を持つことを示しています。

(2) 積分問題：変位の累積量 $X(t)$

減衰振動の積分は、部分積分を繰り返し用いるか、または積分公式を使って計算します。
積分公式 $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$ および $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx)) + C$ を利用します。

$X(t) = \int x(t) dt = \int e^{-\zeta\omega t} \left[ x_0 \cos(\omega_d t) + \frac{v_0}{\omega_d} \sin(\omega_d t) \right] dt$
$= x_0 \int e^{-\zeta\omega t} \cos(\omega_d t) dt + \frac{v_0}{\omega_d} \int e^{-\zeta\omega t} \sin(\omega_d t) dt$

ここで、$a = -\zeta\omega$、$b = \omega_d$ とします。

第1項の積分:
$\int e^{-\zeta\omega t} \cos(\omega_d t) dt = \frac{e^{-\zeta\omega t}}{(-\zeta\omega)^2 + \omega_d^2} (-\zeta\omega \cos(\omega_d t) + \omega_d \sin(\omega_d t))$
第2項の積分:
$\int e^{-\zeta\omega t} \sin(\omega_d t) dt = \frac{e^{-\zeta\omega t}}{(-\zeta\omega)^2 + \omega_d^2} (-\zeta\omega \sin(\omega_d t) - \omega_d \cos(\omega_d t))$
両項を組み合わせる:
$X(t) = x_0 \left[ \frac{e^{-\zeta\omega t}}{\zeta^2\omega^2 + \omega_d^2} (-\zeta\omega \cos(\omega_d t) + \omega_d \sin(\omega_d t)) \right] + \frac{v_0}{\omega_d} \left[ \frac{e^{-\zeta\omega t}}{\zeta^2\omega^2 + \omega_d^2} (-\zeta\omega \sin(\omega_d t) - \omega_d \cos(\omega_d t)) \right] + C$
整理:
$X(t) = \frac{e^{-\zeta\omega t}}{\zeta^2\omega^2 + \omega_d^2} \left[ x_0(-\zeta\omega \cos(\omega_d t) + \omega_d \sin(\omega_d t)) + \frac{v_0}{\omega_d}(-\zeta\omega \sin(\omega_d t) - \omega_d \cos(\omega_d t)) \right] + C$

これは与えられた解答と一致します。この積分結果は、減衰振動の累積的な変位を表し、時間が経つにつれて0に収束する振幅を持つことを示しています。

例題１５

$$
L{f(t)} = F(s) = \lim_{T\to\infty} \int_0^T f(t) e^{-st} dt, \quad \Re(s) > 0
$$

ラプラス変換の基本

ラプラス変換は、時間領域の関数 f(t) を複素周波数領域の関数 F(s) に変換する積分変換である。
定義式：

L{f(t)} = F(s) = ∫[0→∞] f(t) e^(-st) dt

ここで Re(s) は s の実部を表し、この積分が収束する条件となる。

(1) 定数関数 f(t) = 1

F(s) = ∫[0→∞] 1 * e^(-st) dt
= -1/s * e^(-st)
= 1/s

収束条件： Re(s) > 0

(2) 指数関数 f(t) = e^(-a t)

F(s) = ∫[0→∞] e^(-(s+a)t) dt
= -1/(s+a) * e^(-(s+a)t)
= 1/(s+a)

収束条件： Re(s+a) > 0

(3) 一次関数 f(t) = t

F(s) = ∫[0→∞] t e^(-st) dt

部分積分を用いると

F(s) = 1/s^2

(4) 正弦関数 f(t) = sin(ωt)

sin(ωt) = (e^(iωt) - e^(-iωt)) / (2i)

F(s) = 1/(2i) [ 1/(s - iω) - 1/(s + iω) ]
= ω / (s^2 + ω^2)

(5) 余弦関数 f(t) = cos(ωt)

cos(ωt) = (e^(iωt) + e^(-iωt)) / 2

F(s) = 1/2 [ 1/(s - iω) + 1/(s + iω) ]
= s / (s^2 + ω^2)

(6) 双曲線正弦関数 f(t) = sinh(at)

sinh(at) = (e^(at) - e^(-at)) / 2

F(s) = 1/2 [ 1/(s - a) - 1/(s + a) ]
= a / (s^2 - a^2)

(7) 双曲線余弦関数 f(t) = cosh(at)

cosh(at) = (e^(at) + e^(-at)) / 2

F(s) = 1/2 [ 1/(s - a) + 1/(s + a) ]
= s / (s^2 - a^2)

例題16

【問題1】電位関数と電場

問題

$$
V(r) = - \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0} r - \frac{2a}{r}\left( \frac{\rho_0 a}{2\varepsilon_0} - V_0 \right) + \frac{3\rho_0 a}{2\varepsilon_0} - V_0
$$

を r で微分し、電場 $E(r)$ を求めよ。

解説

電場は電位のマイナス勾配で与えられる：

$$
E(r) = - \frac{dV}{dr}
$$

計算すると、

$$
\frac{dV}{dr} = -\frac{\rho_0}{2\varepsilon_0} + \frac{2a}{r^2}\left( \frac{\rho_0 a}{2\varepsilon_0} - V_0 \right)
$$

したがって、

$$
E(r) = \frac{\rho_0}{2\varepsilon_0} - \frac{2a}{r^2}\left( \frac{\rho_0 a}{2\varepsilon_0} - V_0 \right)
$$

【問題2】アンペールの法則による磁束

$$
\phi = \frac{3\mu_0 I}{\pi} \int_a^{2a}\left(1 - \frac{a}{r}\right)dr
$$

解説

積分を計算：

$$
\int_a^{2a}\left(1 - \frac{a}{r}\right)dr
= \left[r - a \ln r \right]_a^{2a}
= (2a - a\ln(2a)) - (a - a\ln a)
$$

$$
= a - a\ln 2
$$

したがって、

$$
\phi = \frac{3\mu_0 I}{\pi}(a - a\ln 2)
$$

【問題3】磁束と誘導起電力

$$
\phi(t) = - \frac{\mu_0 b I}{\pi} \ln \frac{vt+a}{a}
$$

解説

誘導起電力は

$$
\mathcal{E} = -\frac{d\phi}{dt}
$$

微分すると：

$$
\frac{d\phi}{dt} = - \frac{\mu_0 b I}{\pi} \cdot \frac{v}{vt+a}
$$

したがって、

$$
\mathcal{E} = \frac{\mu_0 b I v}{\pi(vt+a)}
$$

【問題4】電位関数の導関数

$$
V(x) = -\frac{\rho}{2\varepsilon_0}x^2 + \left(V_0 + \frac{\rho}{2\varepsilon_0}a^2\right)\frac{x}{a}
$$

解説

微分：

$$
\frac{dV}{dx} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}x + \frac{1}{a}\left(V_0 + \frac{\rho}{2\varepsilon_0}a^2\right)
$$

電場：

$$
E(x) = -\frac{dV}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}x - \frac{1}{a}\left(V_0 + \frac{\rho}{2\varepsilon_0}a^2\right)
$$

【問題5】電荷による電場の積分

$$
E = \frac{Q}{8\pi^2\varepsilon_0}\int_0^{2\pi}\frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}d\varphi
$$

解説

積分は $\varphi$ だけなので係数 $2\pi$ を得る：

$$
E = \frac{Q}{8\pi^2\varepsilon_0}\cdot 2\pi \cdot \frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}
$$

$$
= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}
$$

【問題6】電位の積分表示

$$
V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_\infty^z \frac{dz}{(a^2+z^2)^{3/2}}
$$

解説

公式：

$$
\int \frac{dz}{(a^2+z^2)^{3/2}} = \frac{z}{a^2\sqrt{a^2+z^2}}
$$

境界を代入：

$$
V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{z}{a^2\sqrt{a^2+z^2}} - 0\right]
$$

【問題7】円板電位の積分

$$
V(x) = \int_0^a \frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}dr
$$

解説

置換 $u=r^2+x^2,\ du=2rdr$：

$$
V(x) = \frac{1}{2}\int_{x^2}^{a^2+x^2}\frac{du}{\sqrt{u}}
= \sqrt{a^2+x^2}-x
$$

【問題8】円板上の電場成分

$$
II(z) = \int_0^a \frac{rdr}{(r^2+z^2)^{3/2}}
$$

解説

置換 $u=r^2+z^2,\ du=2rdr$：

$$
II(z) = \frac{1}{2}\int_{z^2}^{a^2+z^2} u^{-3/2}du
= \left[-\frac{1}{\sqrt{u}}\right]_{z^2}^{a^2+z^2}
$$

$$
= \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}
$$


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ==================== Parameters ====================
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)  # Time axis
ω1, ω2 = 5, 7       # Frequencies for interference
ω, k = 3, 2         # Frequency for energy and half-angle examples
ωc, ωm = 20, 2      # Carrier and modulation frequencies

# ==================== Example 1: Addition Theorem ====================
y1 = np.sin(ω1*t) + np.sin(ω2*t)
y1_add = 2*np.sin((ω1+ω2)*t/2)*np.cos((ω1-ω2)*t/2)

plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t, y1, label="Original: sin(ω1 t)+sin(ω2 t)")
plt.plot(t, y1_add, '--', label="After Addition Theorem")
plt.title("Example 1: Wave Interference (Addition Theorem)")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("y(t)")
plt.legend()
plt.grid(True)

# ==================== Example 2: Double-Angle ====================
E = k*np.cos(ω*t)**2
E_double = (k/2)*(1+np.cos(2*ω*t))

plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(t, E, label="E(t) = k cos²(ωt)")
plt.plot(t, E_double, '--', label="Using Double-Angle Formula")
plt.title("Example 2: Vibrational Energy (Double-Angle)")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("E(t)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# ==================== Example 3: Half-Angle ====================
f = np.tan((ω*t)/2)
dfdt = (ω/2)*(1/np.cos(ω*t/2))**2  # derivative

plt.figure(figsize=(12,4))
plt.plot(t, f, label="f(t) = tan(ωt/2)")
plt.plot(t, dfdt/np.max(dfdt), '--', label="Normalized derivative")
plt.title("Example 3: Monotonicity via Half-Angle Formula")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t), df/dt (scaled)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# ==================== Example 4: Product-to-Sum ====================
s = np.sin(ωc*t)*np.cos(ωm*t)
s_expand = 0.5*(np.sin((ωc+ωm)*t)+np.sin((ωc-ωm)*t))

plt.figure(figsize=(12,4))
plt.plot(t, s, label="s(t) = sin(ωc t)cos(ωm t)")
plt.plot(t, s_expand, '--', label="Product-to-Sum Expansion")
plt.title("Example 4: Amplitude Modulation (Product-to-Sum)")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("s(t)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# ==================== Example 5: Sum-to-Product ====================
y2 = np.sin(ω1*t)-np.sin(ω2*t)
y2_expand = 2*np.cos((ω1+ω2)*t/2)*np.sin((ω1-ω2)*t/2)

plt.figure(figsize=(12,4))
plt.plot(t, y2, label="Original: sin(ω1 t)-sin(ω2 t)")
plt.plot(t, y2_expand, '--', label="Sum-to-Product Expansion")
plt.title("Example 5: Beat Phenomena (Sum-to-Product)")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("y(t)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ==================== Parameters ====================
x = np.linspace(-0.99, 0.99, 500)   # domain for arcsin, arccos
t = np.linspace(-2, 2, 500)         # domain for sinh, cosh
H = np.linspace(-3, 3, 500)         # domain for tanh

a, L, R = 1.0, 1.0, 1.0
ω = 2.0
Ms, H0 = 1.0, 1.0

# ==================== Example 6: arcsin ====================
f_asin = np.arcsin(x)
df_asin = 1/np.sqrt(1-x**2)
F_asin = x*np.arcsin(x) + np.sqrt(1-x**2)

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(3,2,1)
plt.plot(x, f_asin, label="arcsin(x)")
plt.plot(x, df_asin, label="d/dx")
plt.plot(x, F_asin, label="∫ dx")
plt.title("Example 6: arcsin(x)")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ==================== Example 7: arccos ====================
f_acos = np.arccos(x)
df_acos = -1/np.sqrt(1-x**2)
F_acos = x*np.arccos(x) - np.sqrt(1-x**2)

plt.subplot(3,2,2)
plt.plot(x, f_acos, label="arccos(x)")
plt.plot(x, df_acos, label="d/dx")
plt.plot(x, F_acos, label="∫ dx")
plt.title("Example 7: arccos(x)")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ==================== Example 8: arctan ====================
x2 = np.linspace(-5,5,500)
f_atan = np.arctan(x2)
df_atan = 1/(1+x2**2)
F_atan = x2*np.arctan(x2) - 0.5*np.log(1+x2**2)

plt.subplot(3,2,3)
plt.plot(x2, f_atan, label="arctan(x)")
plt.plot(x2, df_atan, label="d/dx")
plt.plot(x2, F_atan, label="∫ dx")
plt.title("Example 8: arctan(x)")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ==================== Example 9: sinh ====================
f_sinh = np.sinh(ω*t)
df_sinh = ω*np.cosh(ω*t)
F_sinh = (1/ω)*np.cosh(ω*t)

plt.subplot(3,2,4)
plt.plot(t, f_sinh, label="sinh(ωt)")
plt.plot(t, df_sinh, label="d/dt")
plt.plot(t, F_sinh, label="∫ dt")
plt.title("Example 9: sinh(ωt)")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ==================== Example 10: cosh ====================
f_cosh = a*np.cosh(t/a)
df_cosh = np.sinh(t/a)
F_cosh = a**2*np.sinh(t/a)

plt.subplot(3,2,5)
plt.plot(t, f_cosh, label="a cosh(x/a)")
plt.plot(t, df_cosh, label="d/dx")
plt.plot(t, F_cosh, label="∫ dx")
plt.title("Example 10: catenary curve cosh")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ==================== Example 11: tanh ====================
f_tanh = Ms*np.tanh(H/H0)
df_tanh = (Ms/H0)*(1/np.cosh(H/H0))**2
F_tanh = Ms*H0*np.log(np.cosh(H/H0))

plt.subplot(3,2,6)
plt.plot(H, f_tanh, label="M(H) = Ms tanh(H/H0)")
plt.plot(H, df_tanh, label="dM/dH")
plt.plot(H, F_tanh, label="∫ M(H) dH")
plt.title("Example 11: Magnetic saturation tanh")
plt.legend(); plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ================= Parameters =================
x0, v0, a = 1.0, 0.5, -0.2   # initial position, velocity, acceleration
T = 2.0                      # time constant
N0, lam = 1.0, 0.7           # initial amount, decay rate
ω = 2.0                      # angular frequency
A, B = 1.0, 0.5              # coefficients for trig combination

t = np.linspace(0, 10, 500)

# ========== (1) Uniformly accelerated motion ==========
x1 = x0 + v0*t + 0.5*a*t**2
v1 = v0 + a*t
a1 = a*np.ones_like(t)

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.subplot(2,2,1)
plt.plot(t, x1, label="x(t)")
plt.plot(t, v1, label="dx/dt")
plt.plot(t, a1, label="d²x/dt²")
plt.title("(1) Uniform acceleration")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ========== (2) First-order response ==========
x2 = 1 - np.exp(-t/T)
v2 = (1/T)*np.exp(-t/T)
a2 = -(1/T**2)*np.exp(-t/T)

plt.subplot(2,2,2)
plt.plot(t, x2, label="x(t)")
plt.plot(t, v2, label="dx/dt")
plt.plot(t, a2, label="d²x/dt²")
plt.title("(2) First-order response")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ========== (3) Exponential decay ==========
x3 = N0*np.exp(-lam*t)
v3 = -lam*N0*np.exp(-lam*t)
a3 = lam**2*N0*np.exp(-lam*t)

plt.subplot(2,2,3)
plt.plot(t, x3, label="x(t)")
plt.plot(t, v3, label="dx/dt")
plt.plot(t, a3, label="d²x/dt²")
plt.title("(3) Exponential decay")
plt.legend(); plt.grid(True)

# ========== (4) Harmonic oscillator ==========
x4 = x0*np.cos(ω*t) + (v0/ω)*np.sin(ω*t)
v4 = -x0*ω*np.sin(ω*t) + v0*np.cos(ω*t)
a4 = -ω**2*x4

plt.subplot(2,2,4)
plt.plot(t, x4, label="x(t)")
plt.plot(t, v4, label="dx/dt")
plt.plot(t, a4, label="d²x/dt²")
plt.title("(4) Harmonic oscillator")
plt.legend(); plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

# ========== (5) Trig combination ==========
R = np.sqrt(A**2 + B**2)
phi = np.arctan2(B, A)
y = A*np.cos(ω*t) + B*np.sin(ω*t)
y_comb = R*np.cos(ω*t - phi)

plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(t, y, label="A cos(ωt)+B sin(ωt)")
plt.plot(t, y_comb, "--", label="R cos(ωt - φ)")
plt.title("(5) Trig combination")
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.show()


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
from scipy import signal

# ================= Symbolic Laplace transform =================
t, s, a, w = sp.symbols('t s a w', real=True, positive=True)

functions = {
    "Constant 1": 1,
    "Exponential e^(-a t)": sp.exp(-a*t),
    "Linear t": t,
    "Sine sin(wt)": sp.sin(w*t),
    "Cosine cos(wt)": sp.cos(w*t),
    "Sinh(at)": sp.sinh(a*t),
    "Cosh(at)": sp.cosh(a*t),
}

print("=== Laplace Transform Results ===")
for name, f in functions.items():
    F = sp.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)
    print(f"{name}: {sp.simplify(F)}")

# ================= Bode plot functions =================
# Example: show transfer functions derived from Laplace transforms
# We'll plot for (1) constant, (2) exponential, (3) sine, (4) cosine

# Define some example transfer functions
tf_list = [
    ("1/s (step)", [1], [1,0]),              # 1/s
    ("1/(s+1)", [1], [1,1]),                 # 1/(s+1)
    ("ω/(s^2+ω^2), ω=1", [1], [1,0,1]),      # 1/(s^2+1)
    ("s/(s^2+1)", [1,0], [1,0,1])            # s/(s^2+1)
]

w_freq = np.logspace(-2, 2, 500)  # frequency range

plt.figure(figsize=(12,8))
for i,(label,num,den) in enumerate(tf_list,1):
    sys = signal.TransferFunction(num, den)
    w_, mag, phase = signal.bode(sys, w_freq)
    plt.subplot(2,2,i)
    plt.semilogx(w_, mag, label="Magnitude [dB]")
    plt.semilogx(w_, phase, label="Phase [deg]")
    plt.title(label)
    plt.xlabel("Frequency [rad/s]")
    plt.grid(True, which="both")
    plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

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