よくあるやり方

/etc/aliases
でパイプするやり方

# php@example.comにメールが来た場合、mail-exec.phpを起動する
php: "| /usr/bin/php -f /var/www/mail-exec.php > /dev/null 2>&1"

共通してる注意点

おそらくroot権限のプログラムは起動できない（検証するとそんな感じだった）。
上記のよくあるやり方で/rootにあるphpが起動できなかった（パーミッションとか変えても）。

http://www.omakase.org/mail/aliasenobody.html
によると、あまりよろしくないそうです。

また、いちいち変更がある場合に/etc/aliasesを書き換えるのはめんどくさいです。

/etc/aliases
でプログラムの処理やらが書いてあるファイルを指定できます。

# メールが来たら、rootへ転送と/home/user/postfix_testに書いてあることを実行する
apache:         root, :include:/home/user/postfix_test

/etc/aliasesを変更したら

newaliases

を実行してください。

:include:を使用するには
/etc/postfix/main.cf
に

allow_mail_to_commands = alias,forward,include

を追加する必要があります。
追加したらpostfixを再起動してください。

よくあるやり方で書く内容をそのまま記述してください。
プログラムはクォーテーションでかこってください。

"|/bin/php -f /home/user/mail_test.php > /home/user/test.log"