問4.1
問題本文はワークブック参照
復習
問題を解く前に今回扱う範囲をおさらいします。
今回の問題は正規分布の性質について押さえておけば解けますが、問題全体が正規分布から対数正規分布のあれこれを導出する内容のため、対数正規分布の性質についても紹介します。
■正規分布(normal distribution)
-
確率密度関数：
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$ - $X\sim{N}(\mu,\sigma^2)$ のとき
- 平均：$E[X]=\mu$
- 分散：$V[X]=\sigma^2$
-
モーメント母関数：
$$
M(t)=E[\exp(tX)]=\exp\left(\mu{t}+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right),~-\infty<{t}<\infty
$$
■対数正規分布(log-normal distribution)
-
確率密度関数：
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma{x}}\exp\left(-\frac{(\log{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),~x>0
$$ - $X\sim{\varLambda}(\mu,\sigma^2)$ のとき
- 平均：$E[X]=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$
- 分散：$V[X]=\exp\left(2\mu+\sigma^2\right)\left(\exp(\sigma^2)-1\right)$
問題(1)
-
回答：
$$E[Y]=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$$ -
導出：
$E[Y]=E[\exp(X)]$ を求めるにあたり、正規分布のモーメント母関数を利用して導出する。
$X\sim{N}(\mu,\sigma^2)$ のとき、モーメント母関数は以下となる。
$$
M(t)=E[\exp(tX)]=\exp\left(\mu{t}+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)~…~(i)
$$
ここで $t=1$ とすると、 $(i)$ は以下となる。
$$
M(1)=E[\exp(X)]=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)
$$
問題(2)
-
回答：
$$E[Y]=\exp\left(2\mu+\sigma^2\right)\left(\exp(\sigma^2)-1\right)$$ -
導出：
分散の公式 $V[Y]=E[Y^2]-(E[Y])^2$ より、 $E[Y^2]$ について考える。
$E[Y^2]=E[(\exp(X))^2]=E[\exp(2X)]$ となることから、 $(1)$ と同様、正規分布のモーメント母関数を利用して導出する。
$X\sim{N}(\mu,\sigma^2)$ のときのモーメント母関数を用いて、 $t=2$ とすると $(i)$ は以下となる。
$$
E[\exp(2X)]=\exp\left(2\mu+2\sigma^2\right)~…~(ii)
$$
これより、分散 $V[Y]$ を求める。
$$
\begin{align}
V[Y]&=E[Y^2]-\left(E[Y]\right)^2 \\ &=E[\exp(2X)]-\left(E[\exp(X)]\right)^2 \\ &=\exp\left(2\mu+2\sigma^2\right)-\left(\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)\right)^2~(\because~(ii),(1)) \\ &=\exp\left(2\mu+2\sigma^2\right)-\exp\left(2\mu+\sigma^2\right) \\ &=\exp\left(2\mu+\sigma^2\right)\left(\exp(\sigma^2)-1\right)~(\because~\exp\left(2\mu+\sigma^2\right):共通因数)
\end{align}
$$
問題(3)
-
回答：
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma{y}}\exp\left(-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$ -
導出：
確率変数 $Y=\exp(X)=g(X)$ の確率密度関数を $h(y)$ とすると、変数変換の公式より以下となる。
$$
h(y)=\frac{f(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}~…~(iii)
$$
ここで $(iii)$ の右辺は、 $\frac{f(x)}{|g'(x)|}$ の $x$ 部分に対し、 $g(x)$ を用いて $y$ に変換したものと考えられるので、まずは分かりやすいよう
$$
\frac{f(x)}{|g'(x)|}~…~(iv)
$$
について考える。
正規分布の確率密度関数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ と $g(x)=\exp(x)$ より、$(iv)$は以下となる。
$$
\begin{align}
\frac{f(x)}{|g'(x)|}=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\times\frac{1}{\exp(x)}~…~(v) \\ &(\because~g'(x)=\exp(x)>0)
\end{align}
$$
ここで $g(x)=exp(x)=y$ 、 $g^{-1}(y)=x=\log{y}$ を $(v)$ に代入すると、$(iii)$の右辺は以下となる。
$$
\begin{align}
\frac{f(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\times\frac{1}{y} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma{y}}\exp\left(-\frac{(\log{y}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}
$$