サマリ
OpenAIが突如として、発表を連発して、o1リリース＆ChatGPTPro(3万円／月)でより深い推測ができるという発表をした。
Geminiでも試したが能力は十分で速いので貧乏人はGeminiでいいよ。
ChatGPTo1 Proに東大理系数学を解かせたという興味深い記事を見つけた。
- ChatGPT o1 Proは東大の数学が解けるらしい。
- 庶民にはo1 ProはないがGoogle Geminiがある！ Gemini で同じ条件で確認するぞ！
- (今は無料の)Gemini 2.0 Flash Thinkingでも解ける。さすがGoogle！
問題１
Geminiへの出題方法
インプットに左右されないように画像入力＆プロンプトも合わせた
。
思考過程
- 思考過程詳細(10.5秒)
Thoughts
*The thoughts produced by the model are experimental
experiment
ユーザーのリクエストは、与えられた条件を満たす点Pの範囲をxy平面上に図示することです。条件は3つあります。
1. Pは原点Oと異なる。
2. ∠AOP ≧ (2/3)π
3. ∠OAP ≦ π/6
まず、点Aの座標は(0, -1, 1)です。点Pはxy平面上の点なので、そのz座標は0です。点Pの座標を(x, y, 0)とします。
条件(i)より、(x, y) ≠ (0, 0)です。
条件(ii)について考えます。∠AOPはベクトルOAとベクトルOPのなす角です。
OA = (0, -1, 1)
OP = (x, y, 0)
内積 OA・OP = 0*x + (-1)*y + 1*0 = -y
|OA| = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) = √2
|OP| = √(x^2 + y^2 + 0^2) = √(x^2 + y^2)
cos∠AOP = (OA・OP) / (|OA||OP|) = -y / (√2 * √(x^2 + y^2))
∠AOP ≧ (2/3)πなので、cos∠AOP ≦ cos(2/3)π = -1/2
- y / (√2 * √(x^2 + y^2)) ≦ -1/2
y / (√2 * √(x^2 + y^2)) ≧ 1/2
2y ≧ √2 * √(x^2 + y^2)
両辺を2乗して、4y^2 ≧ 2(x^2 + y^2)
2y^2 ≧ x^2 + y^2
y^2 ≧ x^2
|y| ≧ |x|
さらに、cos∠AOP が負なので、∠AOP は鈍角であり、y は正である必要があります。したがって、y ≧ |x|。これは、直線 y=x と y=-x の間の領域で、y軸より上の部分です。
条件(iii)について考えます。∠OAPはベクトルAOとベクトルAPのなす角です。
AO = (0, 1, -1)
AP = (x, y+1, -1)
内積 AO・AP = 0*x + 1*(y+1) + (-1)*(-1) = y + 1 + 1 = y + 2
|AO| = √2
|AP| = √(x^2 + (y+1)^2 + (-1)^2) = √(x^2 + y^2 + 2y + 1 + 1) = √(x^2 + y^2 + 2y + 2)
cos∠OAP = (AO・AP) / (|AO||AP|) = (y+2) / (√2 * √(x^2 + y^2 + 2y + 2))
∠OAP ≦ π/6なので、cos∠OAP ≧ cos(π/6) = √3/2
(y+2) / (√2 * √(x^2 + y^2 + 2y + 2)) ≧ √3/2
2(y+2) ≧ √6 * √(x^2 + y^2 + 2y + 2)
両辺を2乗して、4(y+2)^2 ≧ 6(x^2 + y^2 + 2y + 2)
4(y^2 + 4y + 4) ≧ 6x^2 + 6y^2 + 12y + 12
4y^2 + 16y + 16 ≧ 6x^2 + 6y^2 + 12y + 12
0 ≧ 6x^2 + 2y^2 - 4y - 4
3x^2 + y^2 - 2y - 2 ≦ 0
3x^2 + (y-1)^2 - 1 - 2 ≦ 0
3x^2 + (y-1)^2 ≦ 3
x^2 / 1 + (y-1)^2 / 3 ≦ 1
これは、中心が(0, 1)、x軸方向の半径が1、y軸方向の半径が√3の楕円の内部（境界を含む）です。
条件(ii)から得られた領域は y ≧ |x| かつ y>0。
条件(iii)から得られた領域は楕円の内部。
条件(i)から、原点を除く。
したがって、求める領域は、y ≧ |x| かつ y>0 の領域と、楕円 x^2 / 1 + (y-1)^2 / 3 ≦ 1 の共通部分から原点を除いた領域です。
図示する際には、まず直線 y=x, y=-x を描き、y軸より上の領域で、これらの直線に挟まれた部分を塗ります。次に、中心(0, 1)、x軸方向の半径1、y軸方向の半径√3の楕円を描きます。最後に、両方の領域の重なる部分を特定し、原点を除外します。
解答：
あってる（っぽい）
問題2
Geminiへの出題方法
正確なプロンプロは不明なため、問題1と合わせた形式で依頼した。
思考過程
- 思考過程(17.5秒)
Thoughts
*The thoughts produced by the model are experimental
experiment
The request is to solve a calculus problem. Let's break it down step by step.
Part 1: Finding α such that f'(tan α) = 0
Differentiate f(x): The function f(x) involves an absolute value within an integral. We need to handle this carefully. The absolute value |t-x| can be split into two cases: t-x when t >= x, and x-t when t < x. This split depends on the relationship between t (the integration variable) and x (the variable of the function).
Case 1: 0 ≤ x ≤ 1: The integration range is 0 to 1. We need to split the integral based on whether t is less than or greater than x.
f(x) = ∫[0, x] (x-t)/(1+t^2) dt + ∫[x, 1] (t-x)/(1+t^2) dt
Calculate the integrals:
∫ (x-t)/(1+t^2) dt = x ∫ 1/(1+t^2) dt - ∫ t/(1+t^2) dt = x arctan(t) - (1/2)ln(1+t^2) + C
∫ (t-x)/(1+t^2) dt = ∫ t/(1+t^2) dt - x ∫ 1/(1+t^2) dt = (1/2)ln(1+t^2) - x arctan(t) + C
Evaluate the definite integrals:
∫[0, x] (x-t)/(1+t^2) dt = [x arctan(t) - (1/2)ln(1+t^2)] from 0 to x = x arctan(x) - (1/2)ln(1+x^2)
∫[x, 1] (t-x)/(1+t^2) dt = [(1/2)ln(1+t^2) - x arctan(t)] from x to 1 = (1/2)ln(2) - x arctan(1) - [(1/2)ln(1+x^2) - x arctan(x)] = (1/2)ln(2) - πx/4 - (1/2)ln(1+x^2) + x arctan(x)
Combine the results to get f(x):
f(x) = x arctan(x) - (1/2)ln(1+x^2) + (1/2)ln(2) - πx/4 - (1/2)ln(1+x^2) + x arctan(x)
f(x) = 2x arctan(x) - ln(1+x^2) + (1/2)ln(2) - πx/4
Differentiate f(x) with respect to x:
f'(x) = 2 arctan(x) + 2x * (1/(1+x^2)) - (2x/(1+x^2)) - π/4
f'(x) = 2 arctan(x) - π/4
Set f'(tan α) = 0:
2 arctan(tan α) - π/4 = 0
Since 0 < α < π/4, arctan(tan α) = α.
2α - π/4 = 0
2α = π/4
α = π/8
Part 2: Find tan α
Since we found α = π/8 in part 1, we need to calculate tan(π/8).
We can use the half-angle formula for tangent: tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ.
Let θ = π/4. Then cos(π/4) = √2/2 and sin(π/4) = √2/2.
tan(π/8) = (1 - √2/2) / (√2/2) = (2 - √2) / √2 = √2 - 1
Part 3: Find the maximum and minimum values of f(x) in the interval 0 ≤ x ≤ 1
Critical points: We know f'(x) = 2 arctan(x) - π/4. We set f'(x) = 0 to find critical points.
2 arctan(x) - π/4 = 0
arctan(x) = π/8
x = tan(π/8) = √2 - 1
Evaluate f(x) at the critical point and endpoints:
Endpoints: x = 0 and x = 1.
Critical point: x = √2 - 1.
Calculate f(0):
f(0) = 2(0)arctan(0) - ln(1+0^2) + (1/2)ln(2) - π(0)/4 = 0 - 0 + (1/2)ln(2) - 0 = (1/2)ln(2)
Calculate f(1):
f(1) = 2(1)arctan(1) - ln(1+1^2) + (1/2)ln(2) - π(1)/4
f(1) = 2(π/4) - ln(2) + (1/2)ln(2) - π/4
f(1) = π/2 - ln(2) + (1/2)ln(2) - π/4
f(1) = π/4 - (1/2)ln(2)
Calculate f(√2 - 1):
Let x = tan(π/8).
f(tan(π/8)) = 2 tan(π/8) arctan(tan(π/8)) - ln(1+tan^2(π/8)) + (1/2)ln(2) - π tan(π/8)/4
f(tan(π/8)) = 2 (√2 - 1) (π/8) - ln(1+(√2 - 1)^2) + (1/2)ln(2) - π (√2 - 1)/4
f(tan(π/8)) = (√2 - 1)π/4 - ln(1 + 2 - 2√2 + 1) + (1/2)ln(2) - (√2 - 1)π/4
f(tan(π/8)) = - ln(4 - 2√2) + (1/2)ln(2)
f(tan(π/8)) = - ln(2(2 - √2)) + (1/2)ln(2)
f(tan(π/8)) = - (ln(2) + ln(2 - √2)) + (1/2)ln(2)
f(tan(π/8)) = -ln(2) - ln(2 - √2) + (1/2)ln(2)
f(tan(π/8)) = - (1/2)ln(2) - ln(2 - √2)
Compare the values:
f(0) = (1/2)ln(2)
f(1) = π/4 - (1/2)ln(2)
f(√2 - 1) = - (1/2)ln(2) - ln(2 - √2)
We are given 0.69 < ln 2 < 0.7. So 0.345 < (1/2)ln 2 < 0.35.
π/4 ≈ 3.14 / 4 = 0.785.
f(0) is positive.
f(1) = 0.785 - (0.345 to 0.35) which is positive.
f(√2 - 1) = - (0.345 to 0.35) - ln(2 - 1.414) = - (0.345 to 0.35) - ln(0.586). Since 0 < 0.586 < 1, ln(0.586) is negative. So f(√2 - 1) is negative.
Maximum value is either f(0) or f(1).
f(0) = (1/2)ln(2)
f(1) = π/4 - (1/2)ln(2)
Compare (1/2)ln(2) and π/4 - (1/2)ln(2).
Compare ln(2) and π/4.
Since ln(2) ≈ 0.693 and π/4 ≈ 0.785, π/4 > ln(2).
So π/4 - (1/2)ln(2) > (1/2)ln(2).
Maximum value is f(1) = π/4 - (1/2)ln(2).
Minimum value is f(√2 - 1) = - (1/2)ln(2) - ln(2 - √2).
Final check of calculations.
解答：
あってますね…（2）がtanαの値をもとめよとあるので、解としてtanα=…と書いてくれた方がすっきりはしますが。
