概要
自分用に線形代数・行列についてまとめていきます。(随時更新予定)
ベクトル$x$は、太字$\mathbf{x}$で統一します。
行列式
n次正方行列$A = [a_{ij}]$の行列式を
\mathrm{det}A = |A| = \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)
と表す。
行列式の計算
n = 2, 3の時は、左上から斜めにかけて、右上から斜めにかけた値を引くと計算できる。
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{31}a_{12}a_{23} + a_{13}a_{21}a_{32} - ( a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{33}a_{12}a_{21})
$n >= 4$の時は、字数を下げてから計算する。
字数を下げる公式1
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right) = a_{11}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)
字数を下げる一般公式
第$j$列で上から$i$番目以外の成分が全て0ならば、
\left(
\begin{array}{ccc}
A & 0 & B \\
\vdots & a_{ij} & \vdots \\
C & 0 & D
\end{array}
\right) = (-1)^{i+j}a_{ij}
\left(
\begin{array}{ccc}
A & B \\
C & D
\end{array}
\right)
第$i$行で左から$j$番目以外の成分が全て0ならば、
\left(
\begin{array}{ccc}
A & \ldots & B \\
0 & a_{ij} & 0 \\
C & \ldots & D
\end{array}
\right) = (-1)^{i+j}a_{ij}
\left(
\begin{array}{ccc}
A & B \\
C & D
\end{array}
\right)
余因子
$n>=2$とする。$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$の第$i$行と第$j$列を取り除いてできる$n-1$次正方行列の行列式を$(-1)^{i+j}$倍した数をAの(i, j)余因子といい、$\tilde{a}_{ij}$と表す。
\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j}\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1j-1} & a_{1j+1} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{i-11}& \ldots & a_{i-1j-1} & a_{i-1j+1} & \ldots & a_{i-1n} \\
a_{i+11}& \ldots& a_{i+1j-1} & a_{i+1j+1} & \ldots & a_{i+1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \ldots & a_{nj-1} & a_{nj+1} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right)
余因子展開
$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$に対して、第i行に対する展開と第j列に対する展開は、それぞれ次のようになる。
|A| = a_{i1}\tilde{a}_{i1} + a_{i2}\tilde{a}_{i2} + \ldots + a_{in}\tilde{a}_{in} \\
|A| = a_{1j}\tilde{a}_{1j} + a_{2j}\tilde{a}_{2j} + \ldots + a_{nj}\tilde{a}_{nj}
余因子行列
$n$次正方行列$A = [a_{ij}]$の$(i,j)$余因子$\tilde{a}_{ij}$を$(i,j)$成分にもつ$n$次正方行列の転置行列をAの余因子行列といい、$\tilde{A}$で表す。すなわち、
\tilde{A} = {}^t\! \left(
\begin{array}{ccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{12} & \ldots & \tilde{a}_{1n} \\
\tilde{a}_{21} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\tilde{a}_{n1} & \tilde{a}_{n2} & \ldots & \tilde{a}_{nn}
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
\tilde{a}_{11} & \tilde{a}_{21} & \ldots & \tilde{a}_{n1} \\
\tilde{a}_{12} & \tilde{a}_{22} & \ldots & \tilde{a}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\tilde{a}_{1n} & \tilde{a}_{2n} & \ldots & \tilde{a}_{nn}
\end{array}
\right)
逆転公式
余因子行列と逆行列は密接に関係している。
余因子行列の性質から、
A\tilde{A} = \tilde{A}A = |A|I
ここで、Aが正則である時、上式を$\frac{1}{|A|}$倍すると、
A^{-1} = \frac{1}{|A|}\tilde{A}
(標準)内積
\mathbf{a} = \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}
\right),
\mathbf{b} = \left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{array}
\right) \\
(\mathbf{a},\mathbf{b}) = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n
逆行列
逆行列の性質
$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$
ここで、逆行列の性質を確認しておく。
正方行列Aに対して、
$$AP = I, PA =I$$
を満たす正方行列Pが存在するとき、Aを正則行列(または単に正則)、Pを逆行列という。与えられた正方行列Aに対して、上の等式を満たす正方行列Pはいつでも存在するとは限らない。しかし、あるとしたら一意に定まる。なぜならば、Pの他に正方行列Yも$AQ=I, QA=I$を満たすと仮定すると、
Q = IQ =(PA)Q = P(AQ) = PI = P
となり、矛盾するからである。
逆行列を求める
問題
次の行列Aの逆行列を求めよ。
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{array} \right)
適当な基本行列の積で表される正則行列
$$P = P_r...P_2P_1$$
が存在して、適当なPを選ぶと$PA = I$ と表せる。
ここで、$PI = P$ となるので、AにPを作用させてIを求めたのと同様に、IにPを作用していくと逆行列が求まるというわけだ。
答え
A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} -10 & 2 & 7 \\ -1 & 0 & 1 \\ 7 & -1 & -5 \end{array} \right)
正則性の判定
正方行列Aが正則であるための必要十分条件は、
- 行列式$|A| \neq 0$
- 逆行列$A^{-1}$が存在する
- 列ベクトルが線型独立
- $A\vec{x} = 0$が自明な解を持つ
- $A\vec{x} = b$が唯一解を持つ
である。
対角化
問題
Aが対角可能である時の直行行列Pを求めよ。
A = \left( \begin{array}{rr} -1 & -4 \\ 6 & 9 \end{array} \right)
次の固有方程式をとくと、
$$|A - λI|= 0$$
$$λ = 3, 5$$
ここで、固有値と固有ベクトルの定義より、
$$ A\vec{x} = λ\vec{x}$$
$λ = 3, 5$のそれぞれの固有ベクトルを$x_1, x_2$とすると、
{x_1} = a\left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array} \right), {x_2} = b\left( \begin{array}{r} -2 \\ 3 \end{array} \right)
また、次の式が成り立つ。
A\vec{x}_1 = λ_1\vec{x}_1, A\vec{x}_2 = λ_2\vec{x}_2
したがって、
\begin{eqnarray}
A(\vec{x}_1, \vec{x}_2) &=& (A\vec{x}_1, A\vec{x}_2) \\ & = & (λ_1\vec{x}_1, λ_2\vec{x}_2) \\ & = & (\vec{x}_1, \vec{x}_2) \left( \begin{array}{cc} λ_1 & 0 \\ 0 & λ_2 \end{array} \right)
\end{eqnarray}
ここで、直行行列Pは、
P = (\vec{x}_1, \vec{x}_2)
になり、両辺をPで割ると、
P^{-1}AP = \left( \begin{array}{cc} λ_1 & 0 \\ 0 & λ_2 \end{array} \right)
というお馴染みの式も導出できる。