前置き
例えばYamada Watanabeの定理を示すとき、二つの解の差が0であることを示すときに、Gronwallの拡張を使いたいことがある。これはその拡張の定理の証明である。
しばしばOsgood Criterion (Osgoodの条件)といわれることもあるっぽい？(あんまり詳しくないので間違ってたらすみません)
一応、言っておくとこれはBihari型不等式自体の証明ではなく、そこにOsgood条件(関数を分母にとったものの積分が無限)のときに、不等式の左辺が必ずすべての$t$について0になることを示した。
定理
$u,\beta,\omega:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$を3つの連続関数とし, $\omega$は正値増加関数とする。$u$が次の不等式を$\displaystyle \int_0^t \beta(s),ds<\infty$の下で満たすとする。
u(t)\leq \int_0^t\beta (s)\omega\left(u(s)\right)ds \quad t\in\mathbb{R}_+
ここで
\int_0^x\frac{dy}{\omega(y)}=\infty\quad \text{for all } x>0
このとき $u(t)=0$がすべての$t \in \mathbb{R}_+$について成り立つ。
証明
まずいかを定義する。
v_{\varepsilon}\left(t\right) := \varepsilon+\int_0^t\beta (s)\omega\left(u(s)\right)ds,\quad \varepsilon>0
ならば(自明であるが)$u(t)\leq v_{\varepsilon}(t)$.また次も定義する。
F(x) := \int_{1}^x\frac{dy}{\omega(y)} \quad x>0
ここでこの積分はリーマン積分とする。ならば次が計算できる。
\frac{d}{dt}F\left(v_{\varepsilon}(t)\right) = F'\left(v_{\varepsilon}(t)\right)v_{\varepsilon}'(t) = \frac{1}{\omega \left(v_{\varepsilon}(t)\right)}\beta(t)\omega(u(t)) \leq \beta(t)
$0$から$t$の範囲で積分すると
F\left(v_{\varepsilon}(t)\right)-F\left(v_{\varepsilon}(0)\right)\leq \int_{0}^t \beta(s)\,ds
次の極限を考える。$\varepsilon \rightarrow 0$. このとき、
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{1}^{v_{\varepsilon}(0)}\frac{dy}{\omega(y)}=\int_1^{0}\frac{dy}{\omega(y)} = -\infty
すると不等式は
\begin{align*}
F\left(v_{\varepsilon}(t)\right)-F\left(\varepsilon\right)\leq \int_{0}^t \beta(s)\,ds\Leftrightarrow F\left(v_{\varepsilon}(t)\right)\leq \int_{0}^t \beta(s)\,ds +F\left(\varepsilon\right) \\
\Rightarrow \limsup_{\varepsilon \to 0}F\left(v_{\varepsilon}(t)\right) \leq \int_{0}^t \beta(s)\,ds +\lim_{\varepsilon \to 0}F\left(\varepsilon\right) = -\infty
\end{align*}
$F$は狭義増加関数より,$\varepsilon\to0$による条件$F\left(v_{\varepsilon}(t)\right) \to -\infty$ は次を表す。$v_{\varepsilon}(t) \to 0$. よって
u(t)\leq \lim_{\varepsilon\to 0}v_{\varepsilon}(t)=0
がすべての$t$について成り立つ。