概要
資格試験の勉強をしていると、自分がどれくらいの確率で合格するか気になりませんか？
私も近々、資格試験を控えていますが、実力を発揮した時の合格率って果たしてどのくらい？と、疑問に思ったので調べてみることにしました。
データ抽出
8月になってから取り組んだ過去問５年分のデータを使います。結果は以下のとおりとなりました。
76.5,87.7, 71.4, 82.6, 78.8
因みに試験の合格最低点は70点です。３回目のテストでは70点ギリギリの点数でしたがそれ以外は概ね70点+α位の点数をとっています。本番もこのくらい取れれば嬉しいですね、、、
平均$\bar{x}$と、分散$\sigma^2$は以下のとおりです。
\bar{x} = 79.4 \\\sigma^2 = 30.4
T分布から合格率を推定する
先ほどの5つのデータを用いてデータ分析をしていきます。今回はデータ量が少ないので簡易的に考えて合格率を推測します。
方法はT分布を使って、母平均の区間推定をします。推定した区間が合格点の70点以上となるとき、「合格」として確率を計算します。
本来であれば、カイ二乗分布で母分散の区間を調べて、母平均と母分散の両方から確率を求めようかと考えましたが、計算が途方もなく大きくなりそうなので省略しました。
まず、T分布で使用する平方和$S$と不偏分散$V$を求めます。
S = \Sigma{x^2_{i}} - \frac{(\Sigma x_{i})^2}{n}=151.9\\
V = \frac{S}{n-1}=\frac{151.9}{4}=38.0
区間推定する時の信頼率$100(1-\alpha)$%の$\mu$の信頼区間は下式で求められます。$t$はT分布の表から求めます（自由度$\phi =4$、$\alpha = 5$%（片側確率））
\biggl(\bar{x}-t(\phi, \alpha)\sqrt{\frac{V}{n}}, \bar{x}-t(\phi, \alpha)\sqrt{\frac{V}{n}}\biggr)
この式を参考にして母平均$\mu$を信頼率95%で片側区間推定をすると、以下の不等式になりました。
\mu \geqq 73.5
無事、70点以上となっています。今度は70点以上となる区間の確率を逆算してみると
P=0.986
となり、99%に近い値が出ました。
これだけを見ると受かったも同然に見えるかもしれません。しかし、本当ならこの母平均に母分散を合わせて合格率の推定をしなければいけません。仮に、母平均が70%であれば、受かる確率は50%となります。このように母平均が70点台では試験に落ちる確率も計算に入れなければいけない程大きい値になります。なので、全体でみたときの合格率は99%よりも確実に下がりますが、今回の標本平均$\bar{x}=79.4$と$\sigma=\sqrt{30.4}=5.5$から考えても、90%程度の合格率はあるのかなと考えています。
僕の今までの資格試験の経験でも合格点＋10点をコンスタントに取れるようになっているときは大体受かっていたので、実際これくらいの合格率が妥当かなと思います。
最後は定性的な評価になってしまいましたが参考になれば幸いです。