債権による恒常的な収益がある場合の計算とその場合分け
変数定義
月利（複利） $r$
初期証拠金 $M_{init}$円
経過月数 $m$
月増加率 $R = (1+r)$
毎月積立る金額 $S_{in}$
毎月消費する金額 $S_{out}$
$m$ヵ月後の残高 $G_m$
$x$か月後に口座からお金の消費を始めるとする。
要約解
$G_1$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金した$m$ヵ月経過後の残高 (導出1)
$$
G_1 = M_{init} R^m
$$
$G_2$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金し、次月以降$S^{in}$円積立て$m$ヵ月経過後の残高 (導出2)
$$
G_2 = M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}
$$
$G_3$:さらに$x$ヵ月後から毎月$S_{out}$円引き落として$m$ヵ月経過後の残高 (導出3)
$$
G_3 = M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(x-1)} R^{n} \
$$
この時、何か月後から$S_{out}$円お金をおろしていよいかを計算すると (導出4)
$$
\frac{\log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }}
{\log{R}}
$$
毎月$S_{out}$ 円引き落とせるようになった月で、月初めの残高$G_{com}$との関係 (導出5)
$$
G_{com} = \frac{R}{R-1}\left(S_{out} - S_{in} \right)
$$
つまり、毎月$\left(S_{out} - S_{in} \right)$ お金をおろしたいとき、その$\frac{R}{R-1}$倍の残高がたまるまで待てばよいということになる。
導出１
$G^1$:初期証拠金 $M^{init}$ 円入金した$m$ヵ月経過後の残高の導出
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1 &=& M_{init}R \\
2か月目\qquad M_2 &=& (M_{init}R)R \\
3か月目\qquad M_3 &=& ((M_{init}R)R)R\\
m か月目\qquad M_m &=& M_{init}R^m\\
\end{eqnarray}
導出２
$G^2$:初期証拠金 $M_{init}$ 円入金し、次月以降$S^{in}$円積立て$m$ヵ月経過後の残高
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1 &=& M_{init}R\\
2か月目\qquad M_2 &=& (M_{init}R+S_{in})R \\
3か月目\qquad M_3 &=& ((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R \\
4か月目\qquad M_4 &=& (((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R \\
&=& M_{init}R^4+S_{in}R^3+S_{in}R^2+S_{in}R \\
m か月目\qquad M_m &=& M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n} \\
\end{eqnarray}
導出３
$G^3$:さらに$x$ヵ月後から毎月$S_{out}$円引き落として$m$ヵ月経過後の残高
一度5ヶ月目から毎月$S_{out}$円引き落とすことを想定すると
\begin{eqnarray}
1か月目\qquad M_1 &=& M_{init}R\\
2か月目\qquad M_2 &=& (M_{init}R+S_{in})R \\
3か月目\qquad M_3 &=& ((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R \\
4か月目\qquad M_4 &=& (((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R \\
5か月目\qquad M_5 &=& ((((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in}-S_{out})R \\
6か月目\qquad M_6 &=& (((((M_{init}R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in})R+S_{in}-S_{out})R+S_{in}-S_{out})R\\
&=& M_{init}R^6+S_{in}\sum_{n=1}^{6-1} R^{n}-S_{out}R^2-S_{out}R \\
&=& M_{init}R^6+S_{in}\sum_{n=1}^{6-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{6-(5-1)} R^{n} \\
\end{eqnarray}
一般化して、$x$ヶ月後から引き落とすことになる場合$m$ヶ月後の残高は
\begin{eqnarray}
m か月目\qquad M_m &=& M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(x-1)} R^{n} \\
\end{eqnarray}
導出４
このような状況のなか、
何か月後から$S_{out}$円のお金をおろしてよいかを計算する。
何か月後かを$x$か月後と表現する。
$G_3:m$ ヶ月後に$S_{out}$円引き落とした後に運用した時の残高
$G_2:m-1$ ヵ月時点での運用した残高
この時の束縛条件
G_3 - G_2 \geqq 0
すると
\begin{eqnarray}
G_3 - G_2 &\geqq& 0 \\
\left(M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(m-1)} R^{n}\right)
- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right) &\geqq& 0 \\
M_{init}\left(R^m- R^{m-1}\right)+S_{in}R^{m-1}-S_{out}R &\geqq& 0 \\
M_{init}R^{m}\left(R-1\right)+S_{in}R^{m} &\geqq& S_{out}R^{2} \\
R^{m} &\geqq& \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}}\\
m \log{R} &\geqq& \log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }\\
m &\geqq& \frac{\log{\left( \frac{S_{out}R^{2}}{M_{init}\left(R-1\right)+S_{in}} \right) }}
{\log{R}}
\end{eqnarray}
導出５
月初めの残高 $G_{com}$としたとき、先月までの生産した額と同じなので、
\begin{eqnarray}
G_{com} &=& &MR^{m-1}& +&S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}& \\
G_{com} &=& &G_{com1}& + &G_{com2}&\\
\end{eqnarray}
と置ける。
この時の束縛条件
G_3 - G_2 \geqq 0
すると
\begin{eqnarray}
G_3 - G_2 &\geqq& 0 \\
\left(M_{init}R^m+S_{in}\sum_{n=1}^{m-1} R^{n}-S_{out} \sum_{n=1}^{m-(m-1)} R^{n}\right)
- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right) &\geqq& 0 \\
\left(M_{init}R^m+(S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n})R+S_{in}R-S_{out}R\right)
- \left( M_{init}R^{m-1}+S_{in}\sum_{n=1}^{m-2} R^{n}\right) &\geqq& 0 \\
\left(G_{com1}R +G_{com2}R+S_{in}R-S_{out}R \right)-\left(G_{com1}+G_{com2} \right)&\geqq& 0 \\
G_{com}&\geqq& \frac{R}{R-1}\left(S_{out} - S_{in} \right)
\end{eqnarray}