【備忘録】立方根ωの解説メモ【高校数学】

Last updated at 2025-04-04Posted at 2025-03-15

たまたまこの投稿が気になったので自分用の備忘録として解説メモを残す。
解答が間違っていたら申し訳ないです。

問題文（引用）

以下問題文引用。

$A×A=B$
$B×B=A$
$A≠B$
のとき、$A+B=?$

答えは「-1」

$B×B=A$に$A×A=B$を代入すると、

\begin{align}
A^4&=A \\
A^3&=1 \tag{1}
\end{align}

となる。

この式を因数分解すると

(A-1)(A^2+A+1)=0 \tag{2}

解の公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$を用いると

A=1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}

となる。
このときの$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$を二乗すると

(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})^2=\frac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{2^2}=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{2^2}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}

となり、
解の公式を用いて求めた$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$と一致する。
$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とおくと

A=1,\omega,\omega^2

となる。
この$\omega$を立方根という。
式(1)、式(2)及びその解より、

\begin{align}
\omega^3&=1 \tag{3} \\
{\omega}^2+{\omega}+1&=0 \tag{4}
\end{align}

の性質を満たす。

$A×A=B$より

A+B=A+A^2=X

※問題文の「$?$」は「$X$」に置き換えた。
式(1)、式(3)より、$A$は立方根であるため、

A+B=\omega+\omega^2=X

式(3)と式(4)の連立方程式を解くと

X=-1

よって答えは「$-1$」となる。