（要約）
$k$巻まで読むと仮定し、$k$巻以下で重複する本は売却します。
売らずに読む本をs冊とすると残りはn-s冊で、それらを全部売って$k$巻まで揃うかどうかをみればよいです。
（注意）
Julia 1.4です。知らなくても理解できるとは思います。

考察

2冊の本を売って1冊の本を買うと、本の総冊数は減少する。なのでなるべく売買しないほうがよい
（まず全部売ってしまってから考えるというアプローチは不可）
$a_i$ の上限が大きい($10^9$)ので対策が必要だが、本の総冊数は最大で$3×10^5$なので解はこの値を超えることはない。
（上界を見積もる）
売るなら読まれる可能性が最も小さい巻、つまり最後の巻が優先
（貪欲法）
巻が重複している可能性がある
（コーナーケースというほどではないが。サンプルコードみて初めて気づいた）

アプローチ

pseudocode

k = 0
while true
    k += 1
    if (k巻まで読める)
        continue
    else
        print(k-1)
        exit
    endif
end
print(k)

で、$k$巻まで読めるかどうか。

$k$巻まで読めるかどうかの判定は、

最初に持っている本のうち、1巻から$k$巻までは2冊以上持っていれば1冊を残して売る … $O(k)$、全探索なら改良できる
$k+1$巻よりあとは全部売る … $O(N)$、累積和つかえば改良できる
売った本で不足している本が買えればOK … 不足している冊数と売れる冊数が分かれば、$O(1)$。

これを$k = 1$から$N$までについて検討すればOK。
ただし愚直に検討すると1回の検討に$O(N)$かかるので全部で$O(N^2)$でTLE。

計算時間短縮

kについて二分探索

公式解説の2番目の要領です。

コードはシンプルですが、結構高度なことをやっています。
C++の人が実装するなら、「$k$巻より前で重複のため売れる冊数」と「$k+1$巻以上の冊数」を累積和で管理することになるでしょうか。

$O(NlogN)$。

kについて工夫しながら全探索

愚直にやると上記のように$O(N^2)$ですが、$k$を1つずつ増やすので工夫の余地はありそうです。
色々なアプローチがありますが、以下の方法が圧倒的にシンプルなので採用しました↓

$k$巻以下で売らずに読む本をs冊とします。sの更新は$O(1)$でできます。
残りはn-s冊で、それらを全部売って$k$巻まで揃えばよいです。

ACコード

本番の際のACコードです。(コメントはあとで付加)

c.jl

function solver()
    n = toI()
    a = toVI()
    v = zeros(Int,300000) # v[i]は第i巻を何冊持っているかを表す
    for ai in a           # ai > 300000 は使用しないので無視してよい
        ai > 300000 && continue
        v[ai] += 1
    end

    s = 0                # 売らずに読むことのできることのできる冊数
    for i in 1:300000    # 第i-1巻まで読むことが可能なとき、第i巻を読むことができるか
        if v[i] ≥ 1      # 1冊以上あれば売らずに読むことができる
            s += 1
        end
        r = n - s        # i巻までのみ読むと仮定すると、s冊以外は全部売ることができる
        if s + r÷2 < i   # r冊売ってr÷2冊買って合計冊数がi冊に満たなければi巻までは読めないので打ち切り
            println(i-1)
            return
        end
    end
    println(300000)      # 打ち切られずにここまでくれば上界
end

toI(x=readline()) = parse(Int,x)
toVI() = [toI(x) for x ∈ split(readline())]

solver()

Datastructures.jlのcounterでもっと短いコードにできます。
内部でunordered_mapに相当するものを使用しているので速度は劣ります。

c_counter.jl

using DataStructures

function solver()
    n = toI()
    v = toVI() |> counter

    s = 0
    i = 0
    while true
        i += 1
        if v[i] ≥ 1
            s += 1
        end
        r = n - s
        if s + r÷2 < i
            println(i-1)
            return
        end
    end
end

toI(x=readline()) = parse(Int,x)
toVI() = [toI(x) for x ∈ split(readline())]

solver()

JuliaはJITなのでコンパイル時間の分だけ不利ですが、1.4から1.8ではかなり改善しています。次の言語アップデートが待ち遠しいです。

ABC271-C (シンプル)

考察

アプローチ

計算時間短縮

kについて二分探索

kについて工夫しながら全探索

ACコード