0
1

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 5 years have passed since last update.

Leave one out法とBootstrap法でモデル選択してみる

Last updated at Posted at 2018-08-18

正しいモデル選択をするためにモデル評価が大事になってきます。いくつか方法がありますが、代表的なものを列挙します。

  • Hold Out法
  • Cross Validation法
  • Leave One Out法
  • Bootstrap法
  • WAIC
  • WBIC

leave one outはcross validationにおいて、データ数とグループ数が等しい場合を指します。まずはこの方法を使って、性能評価を行い、正しくモデル選択ができるか検証してみます。

テストデータの作成

下の因果グラフに基づき、テストデータを生成します。誤差項はすべて、正規分布に従うとします。1回のサンプリング数は10とします。
スクリーンショット 2018-08-18 17.17.21.png

n= 10
mu = c(0,0)
sd = c(1,1)
cor =.2
cov = sd %*% t(sd) * cor
diag(cov) = sd^2
generate_data = function(){
    mvrnorm(n,mu,cov) %>% as.tibble() %>% mutate(V3 = rnorm(n,0,1),y=3 * V1 + rnorm(n,0,.5))
}

作成されたデータの概観をみてみましょう。
download.png

モデルの候補

  1. Y ~ V1 (正しいモデル)
  2. Y ~ V1+V2
  3. Y ~ V1+V2+V3
  4. Y ~ (V1+V2)^2 (相互作用も考慮したモデル)
  5. Y ~ (V1+V2+V3)^2

Leave one out法

では、Leave one outに基づいてモデルを選択してみます。

models = list(y~V1, y~V1+V2, y~V1+V2+V3)
result = models %>% map(~{
    model = .x
    1:nrow(df) %>% map(
        ~(lm(model, data=df[-.x,]) %>% predict(df[.x,]) - df$y[.x])^2
    ) 
})
result %>% simplify_all() %>% set_names(str_c("model_",1:3)) %>% as.tibble %>% summarise_all(mean) %>% which.min 
# >>model_1

上記のデータセットでは正しくモデル1が選ばれたようです。
次に上記の流れ(データ生成+モデル選択)を1000回繰り返します。果たして正しいモデルを選択できたのでしょうか?

models = list(y~V1, y~V1+V2, y~V1+V2+V3, y~(V1+V2)^2, y~(V1+V2+V3)^2)
1:100 %>% map(~{
    df = generate_data()
    result = models %>% map(~{
        model = .x
        1:nrow(df) %>% map(
            ~(lm(model, data=df[-.x,]) %>% predict(df[.x,]) - df$y[.x])^2
        ) 
    })
    result %>% simplify_all() %>% set_names(1:length(models)) %>% as.tibble %>% summarise_all(mean) %>% which.min 
})

result %>% unlist %>% as_tibble %>% 
ggplot(aes(value)) + geom_bar() + labs(x="モデル",y="カウント数")

さて、気になる結果です。一番選択されやすいモデルは正しいモデル①であったものの、それ以外のモデルも少なからず選択されています。

Model Count
1 639
2 130
3 101
4 96
5 34

download-1.png

次にサンプルサイズを100に増やして、同じように実験してみます。
結果はこちら。

Model Count
1 701
2 95
3 89
4 76
5 39

download-1のコピー.png

想像どおり、サンプル数を増やすことによって、より正しくモデル選択ができるようになりました。
しかし、それでも正答率は70%ほど。データのみから正しいモデルを選択することはかなり困難な印象です。Leave one out以外にWAICも汎化誤差の近似として使いますが、性能は似たようなものらしいです(うろ覚え)。
今回は正規分布かつ線形モデルでテストデータを作成しました。
しかし、現実は背景因子の確率分布も複雑であり、因果関係も線形構造ではないことが多いでしょう。
やはり、その道の専門家と手を取り合い、少しでも多くのドメイン知識に基づいて、モデルを作成していく&候補を絞っていく作業が重要になってくるのではないでしょうか。

Bootstrap法(追記)

1つの標本からリサンプリングを繰り返して生成する標本をブートストラップ標本と呼びます。
手元のデータから最尤推定で求めたパラメタでMSEを計算しても、真のデータ分布を使ったMSEはそれより大きくなる。それをブートストラップ標本を使って修正する方法です。詳しくは「はじパタ第2章」参照してください。

result = 1:100 %>% map(~{
    df = generate_data()
    models %>% map(~{
        model=.x
        expected_bias = 1:100 %>% map_dbl(~{
            sample = df %>% sample_frac(replace=T) 
            fit = lm(model,data=sample)
            fitted_MSE = fit$residuals^2 %>% mean 
            predicted_MSE = (predict(fit, df) - df$y)^2 %>% mean
            bias = predicted_MSE-fitted_MSE
            bias
        }) %>% mean
        lm(model,df)$residuals %>% .^2 %>% mean + expected_bias
    }) %>% which.min   
})

気になる結果は。。。

Model Count
1 622
2 164
3 134
4 72
5 8

download-1のコピー3.png

今回のテストデータだけからは結論付けれませんが、LOOVと比較すると性能が悪いような気がします。

0
1
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
1

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?