台車型倒立振子の運動方程式をNewton-Euler法で導出します．モデルは，川田昌克 編著の「倒立振子で学ぶ制御工学（森北出版株式会社）」を参考にしました．
Free-Body-Diagramと物理パラメータの定義
下の図が，台車型倒立振子に働く力やトルクを示したものです．また，台車型倒立振子の物理パラメータを表で示しました．
| 台車の質量 | 振子の質量 | 振子の重心まわりの慣性モーメント | 重力加速度 |
|---|---|---|---|
| $m_c \, \rm [kg]$ | $m_p \, \rm [kg]$ | $J_p \, \rm [kg \cdot m^2]$ | $g \, \rm [m/s^2]$ |
| 台車の粘性摩擦係数 | 振子の粘性摩擦係数 | 振子の軸から重心までの長さ |
|---|---|---|
| $\mu_c \, \rm [kg/s]$ | $\mu_p \, [\rm kg \cdot \rm m^2/s]$ | $l_p \, \rm [m]$ |
台車の位置は $y$ 軸から台車の中心までの距離とし，$x_c \, \rm [m]$ と定義します．また，振子の角度は鉛直方向から時計回りを正とし，$\theta \, \rm [rad]$ と定義します．$f_c$ の力で台車を押し，左右に動くと振子には水平方向に$ H \, \rm [N]$，鉛直方向に $V \, \rm [N]$ の力が加わります．同時に作用反作用の法則より，台車にも水平方向に $H \, \rm [N]$，垂直方向に $V \, \rm [N]$の力が加わります．
運動方程式の導出
Free-Body-Diagram をもとに運動方程式を導出していきます．まずは台車と振子のそれぞれの運動方程式を記述します．台車の水平方向の運動方程式は，粘性摩擦を考慮して次のようになります．
m_c\ddot{x}_c=f_c-\mu_c\dot{x}_c-H \tag{1}
振子の水平方向，鉛直方向の運動方程式はそれぞれ
\left \{
\begin{array}{l}
m_p\ddot{x}_p=H
\\
m_p\ddot{y}_p=V-m_pg
\end{array}
\right. \tag{2}
となります．また，重心まわりの回転の運動方程式は，次のようになります．
$$
J_p\ddot{\theta}=-\mu_p\dot{\theta}+Vl_p\sin \theta-Hl_p\cos\theta \tag{3}
$$
これで台車と振子の運動方程式が得られたのですが，振子の座標である $x_p$ と $y_p$ は振子の角度 $\theta$ を用いて書き換えることができます．
\left \{
\begin{array}{l}
x_p=x_c+l_p\sin \theta
\\
y_p=l_p\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{4}
$x_p, \, y_p$の１階微分と２階微分を計算すると，それぞれ式$(5), \, (6)$になります．
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
\dot{x}_p=\dot{x}_c+l_p\dot{\theta}\cos \theta
\\
\dot{y}_p=-l_p\dot{\theta}\sin \theta
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{5}
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
\ddot{x}_p=\ddot{x}_c+l_p(\ddot{\theta}\cos \theta-\dot{\theta}^2 \sin \theta)
\\
\ddot{y}_p=-l_p (\ddot{\theta} \sin \theta+\dot{\theta}^2 \cos \theta)
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{6}
式$(2)$に式$(6)$を代入すると，$H, \, V$は次のように表されます．
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
H=m_p\ddot{x}_c+l_p(\ddot{\theta}\cos \theta-\dot{\theta}^2 \sin \theta)
\\
V=-m_pl_p\ddot{\theta}\sin \theta-m_pl_p\dot{\theta}^2\cos \theta+m_pg
\end{array}
\right.
\end{equation} \tag{7}
式 $(7)$ を，台車の水平方向の運動方程式である式 $(1)$ と，振子の重心回りの回転方向の運動方程式である式 $(3)$ に代入して $H, \, V$ を消去して式変形すると，最終的に台車型倒立振子の非線形モデルが得られます．
台車型倒立振子の非線形モデル
\left \{ \begin{array}{l} (m_c+m_p)\ddot{x}_c+m_pl_p\ddot{\theta}\cos \theta=-\mu_c\dot{x}_c+m_pl_p\dot{\theta}^2\sin \theta+f_c\\ \\ m_pl_p\ddot{x}_c\cos \theta+(J_p+m_pl_p^2)\ddot{\theta}=-\mu_p\dot{\theta}+m_pgl_p\sin \theta \end{array} \right.