scipy.stats: 1 標本 t 検定 `ttest_1samp`

scipy.stats.ttest_rel の項で既に書いたが，これはこれで改めて書き起こす。

1 標本 $t$ 検定は，2 つの局面で使われる。

本当に 1 つの標本の，母平均の検定として
本当は 2 つの対応のある標本の母平均の差の検定として

後者の場合は scipy.stats.ttest_rel を使えばよいが，対応するデータの差をとって scipy.stats.ttest_1samp を使うこともできる。その際，差の母平均が 0 であるかの検定になる。

from scipy.stats import ttest_1samp

ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate', alternative='two-sided')

1.　母平均の検定

検定したい母平均を popmean で指定する。

例題:　ある工業製品の重さは規格により 10g とされている。20 個の製品の重さを測定したところ，以下のようになっていた。母平均は 10g といえるか?


 9.99941 10.00150 10.00078  9.99899  9.99992
10.00215  9.99807 10.00007 10.00177  9.99963
 9.99982 10.00041 10.00199  9.99986 10.00006
10.00007 10.00271 10.00269 10.00150 10.00089

帰無仮説 $H_0$:　母平均は 10g である。
対立仮説 $H_1$:　母平均は 10g ではない。

x = [
      9.99941, 10.00150, 10.00078,  9.99899,  9.99992,
     10.00215,  9.99807, 10.00007, 10.00177,  9.99963,
      9.99982, 10.00041, 10.00199,  9.99986, 10.00006,
     10.00007, 10.00271, 10.00269, 10.00150, 10.00089
    ]

from scipy.stats import ttest_1samp
ttest_1samp(x, popmean=10)

Ttest_1sampResult(statistic=2.1828817986464135, pvalue=0.04179698621109555)

結論: $p$ 値が 0.0418 なので，有意水準 5% で帰無仮説は棄却される。すなわち，母平均は 10g ではないという結論になる。

なお，標本平均，標本標準偏差は以下の通りである。

np.mean(x), np.std(x, ddof=1)

(10.0006145, 0.0012589447335390237)

2.　母平均=0 の検定

対応のある 2 標本の母平均の差の検定は，対応するデータの差をとって母平均=0 の 1 標本検定を行うのと同じである。

例題:　東京都の新型コロナの新規感染者数は以下のようであった。

2022/05/15（日）からの一週間  3348, 2377, 3633, 4355, 4712, 3573, 3467
2022/05/22（日）からの一週間  3317, 2025, 3271, 3929, 3391, 2530, 2549

このデータは曜日で対応付けられた対応のある 2 標本データと見てよい。15日からの週と，22日からの週の母平均に差があるだろうか?

import numpy as np
w15 = np.array([3348, 2377, 3633, 4355, 4712, 3573, 3467])
w22 = np.array([3317, 2025, 3271, 3929, 3391, 2530, 2549])
dif = w15 - w22
print(np.mean(w15), np.mean(w22), np.mean(dif))

3637.8571428571427 3001.714285714286 636.1428571428571

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(7), w15)
plt.plot(range(7), w22)
plt.legend(['05/15〜', '05/22〜'])
plt.xticks(range(7), ['Sun', 'Mon', 'Tue', 'Wed', 'Thu', 'Fri', 'Sat'])
plt.ylabel('人数');

from scipy.stats import ttest_rel, ttest_1samp
ttest_rel(w15, w22)

Ttest_relResult(statistic=3.643603278912914, pvalue=0.010788365449744446)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(7), dif)
plt.legend(['差'])
plt.xticks(range(7), ['Sun', 'Mon', 'Tue', 'Wed', 'Thu', 'Fri', 'Sat'])
plt.ylabel('人数');

ttest_1samp(dif, popmean=0)

Ttest_1sampResult(statistic=3.643603278912914, pvalue=0.010788365449744446)

ttest_rel の結果は ttest_1samp と同じになる。

結論: $p$ 値が 0.0108 なので，5% 有意水準のもとで帰無仮説は棄却される。すなわち，5/15 の週と 5/22 の週では，母平均に差があるといえる。