Octave でマクネマー検定

マクネマー検定は，対応のある 2 標本の比率の差の検定である。また，対応する値（カテゴリー）が $k$ 種類ある場合は，マクネマー検定の拡張である「対称性の適合度検定(goodness of fit test of symmetry)」が行われる（R でも採用されている）。

usage:
[pval, chisq, df] = mcnemar_test (x)

x は正方行列
2 x 2 行列を与えた場合，連続性の補正をした検定結果が示される。連続性の補正をしないというオプションはない。
戻り値を指定しない場合は p 値のみを表示する

次式で計算される $\chi^2_0$ が，自由度 $\displaystyle \frac{k\ (k-1)}{2}$ の $\chi^2$ 分布に従う。
$$\displaystyle
\chi^2_0 = \begin{array}{c}
{　} \
{\sum \sum} \
{\scriptsize i \lt j}
\end{array}
\frac{\left( n_{ij} - n_{ji} \right)^2} {n_{ij} + n_{ji}}
$$

pkg load statistics   % statistics が必要
format long           % 表示精度を高くする（任意）

2 x 2 行列を与えた場合

x = [13 6
      9 7] 

x =

   13    6
    9    7

mcnemar_test(x);

  pval: 0.605577

[pval, chisq, df] = mcnemar_test(x);
printf("chisq = %.5g,  df = %d,  p value = %.5g\n", chisq, df, pval)

chisq = 0.26667,  df = 1,  p value = 0.60558

mcnemar() は漸近検定なので，二項検定 binotest() を用いれば正確な $p$ 値が得られる。

[h, pval,ci] = binotest(6, 6+9, 0.5)

h = 0
pval = 0.607238769531250
ci =

   0.163364323859513   0.677130233793718

k x k 行列を与えた場合

x = [13 6 8
      9 7 5
      1 3 8] 

x =

   13    6    8
    9    7    5
    1    3    8

[pval, chisq, df] = mcnemar_test(x);
printf("chisq = %.5g,  df = %d,  p value = %.5g\n", chisq, df, pval)

chisq = 6.5444,  df = 3,  p value = 0.087926

以下のような計算をしている

chisq = (6 - 9)^2/(6 + 9) + (8 - 1)^2/(8 + 1) + (5 - 3)^2/(5 + 3)

chisq = 6.544444444444444

k = size(x)(1)

k = 3

df = k * (k - 1) / 2

df = 3

pval = 1 - chi2cdf(chisq, df)

pval = 8.792610801907608e-02