scipy.stats: 関連2標本の平均値の差の検定 ttest_rel, ttest_1samp

1.　テストデータの生成

import numpy as np
x = np.array([63.6, 62.9, 41.1, 54.0, 45.0, 39.8, 62.4, 37.8, 45.5, 47.9])
y = np.array([69.7, 50.2, 48.7, 59.4, 52.8, 54.9, 76.9, 66.4, 50.1, 48.8])

2.　関連2標本の平均値の差の検定 ttest_rel

from scipy.stats import ttest_rel

ttest_rel(a, b, axis=0, nan_policy='propagate', alternative='two-sided')

デフォルトで両側検定である。特に指定するなら alternative='two-sided' を指定する。

帰無仮説は「2 つの対応のある標本の母平均は等しい」である。

戻り値は $t$ 統計量と $p$ 値である。

ttest_rel(x, y)

Ttest_relResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.045732821155958746)

帰無仮説が「最初に指定したデータの母平均のほうが小さい」という片側検定の場合には，alternative='less' を指定する。

$p$ 値は，両側検定の場合の 1/2 になる。

ttest_rel(x, y, alternative='less')

Ttest_relResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.022866410577979373)

帰無仮説が「最初に指定したデータの母平均のほうが大きい」という片側検定の場合には，alternative='greater'。

なお，テストデータは alternative='less' の例なので，'greater' を指定すると $p$ 値は 0.5 以上になる。

ttest_rel(x, y, alternative='greater')

Ttest_relResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.9771335894220207)

3.　1標本の母平均の検定 ttest_1samp

対応のある2標本データの差を計算して，ttest_1samp で検定することもできる。この場合は，「観察データが指定した母平均を持つといえるか」という検定になるので，母平均を popmean で指定しなければならない。

popmean はデフォルト値がないので，必ず指定しなければならない。

「対応のある2標本データの平均値の差の検定」では，帰無仮説を「差がない」とすることが多いので，それに対しての「1標本の母平均の検定」では popmean=0 を指定することになろう。

しかし，ttest_1samp で popmean を指定できるのは，ttest_rel よりも優れている。ttest_rel は平均値の差は 0 と決めつけていて変更できないからである（多くの統計パッケージでは，「対応のある2標本データの平均値の差の検定」の場合にも，平均値の差の指定ができる）。

from scipy.stats import ttest_1samp

ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate', alternative='two-sided')

diff = x - y
print('mean(x) = ', x.mean(), '  mean(y) = ', y.mean(), '  mean(diff) = ', diff.mean())

mean(x) =  50.0   mean(y) =  57.79   mean(diff) =  -7.790000000000004

差を求めて ttest_1samp で検定する。帰無仮説は「差の母平均は 0 である」。これは，「元の対応のある 2 標本の平均値の差は 0 である」と同じことである。

特に指定しなければ両側検定（alternative='two-sided）が行われる。

戻り値は $t$ 統計量と $p$ 値である。

ttest_1samp(diff, popmean=0)

Ttest_1sampResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.045732821155958746)

帰無仮説が「母平均は popmean より小さい」ならば，alternative='less' を指定する。

$p$ 値は両側検定の 1/2 になる。

ttest_1samp(diff, popmean=0, alternative='less')

Ttest_1sampResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.022866410577979373)

帰無仮説が「母平均は popmean より大きい」ならば，alternative='greater' を指定する。

実際のデータが帰無仮説と逆になっていれば，$p$ 値は 0.5 より大きくなる。

ttest_1samp(diff, popmean=0, alternative='greater')

Ttest_1sampResult(statistic=-2.3166916999976834, pvalue=0.9771335894220207)

当然ながら popmean は 0 でなくてもよい。

例題では平均値の差は -7.79 であるが，もし帰無仮説が「母平均は -6 である（両側検定）」ならば，「そういうことはよく起きること」なので，$p$ 値は 0.05 より大きくなり，帰無仮説は棄却できないということになる。

ttest_1samp(diff, popmean=-6)

Ttest_1sampResult(statistic=-0.5323335228492759, pvalue=0.6073847139443715)