正規分布の検定（オムニバス検定） `normaltest`

データは正規分布からの標本といえるか？の検定。

$H_0$:母分布は正規分布である。

$H_1$:母分布は正規分布ではない。

以下の 2 論文に基づいたオムニバス検定である。

D'Agostino, R. B. (1971), "An omnibus test of normality for
moderate and large sample size", Biometrika, 58, 341-348
D'Agostino, R. and Pearson, E. S. (1973), "Tests for departure from
normality", Biometrika, 60, 613-622

normaltest(a, axis=0, nan_policy='propagate')

1.　正規乱数について検定を行う

平均値=50，標準偏差=10 の正規乱数 25 個について検定を行う。

from scipy.stats import norm
import numpy as np
np.random.seed(123)

x = np.round(norm.rvs(loc=50, scale=10, size=25), 1)
print(*x)

39.1 60.0 52.8 34.9 44.2 66.5 25.7 45.7 62.7 41.3 43.2 49.1 64.9 43.6 45.6 45.7 72.1 71.9 60.0 53.9 57.4 64.9 40.6 61.8 37.5

normaltest(x)

NormaltestResult(statistic=1.0656167729164954, pvalue=0.5869542584547112)

オムニバス検定とは，一般に，同じデータに対する独立な $k$ 個の正規分布にしたがう検定統計量の二乗和が自由度 $k$ の $\chi^2$分布に漸近するというものである。

今回は，skewtest(x) および kurtosistest(x) が返す独立な z 値 の二乗和が自由度 2 の $\chi^2$ 分布に近似できるとする仮説検定である。

from scipy.stats import skewtest, kurtosistest
from scipy.stats import chi2
s, ps = skewtest(x) # s は歪度の検定の Z 値
k, pk = kurtosistest(x) # k は尖度の検定の Z 値
print(s, k)
statistic = s**2 + k**2 # 検定統計量
print('statistic =', statistic, '　　df = 2')
print('p value =', chi2.sf(statistic, 2))

-0.022210278084285384 -1.032048194835839
statistic = 1.0656167729164954 　　df = 2
p value = 0.5869542584547112

$p \gt 0.05$ ゆえ，帰無仮説は棄却できない（$p = 0.587$）。したがって，このデータは正規分布に従っていないとはいえないと結論する。

2.　正規乱数ではないものについて検定を行う

自由度 1 の $t$ 分布（すなわちコーシー分布）にしたがう乱数 25 個に対して検定を行ってみる。

from scipy.stats import t
import numpy as np
np.random.seed(123)

y = np.round(t.rvs(df=1, loc=50, scale=10, size=25), 1)
print(*y)

16.2 58.9 -0.0 42.4 44.1 45.3 56.6 79.1 119.6 26.6 20.6 46.9 30.4 51.7 54.6 49.3 70.2 88.0 50.3 61.7 21.9 108.7 671.3 87.3 64.7

normaltest(y)

NormaltestResult(statistic=58.02809862697257, pvalue=2.5081787582156243e-13)

$p \lt 0.05$ ゆえ，帰無仮説を棄却する（$p \lt 0.00001$）。したがって，このデータは正規分布に従っていないと結論する。