プロジェクトオイラー１５らしいです。
階乗すぐオーバーフローしてしまうので、
先に約分をするというのがミソです。
アルゴリズム力をちょっとづつのばしていきたいところです。
命名とかやっつけです

#include <iostream>
#include <vector>

//a >= b
long long int gcd(long long int a, long long int b)
{
    long long int mod = a % b;
    if(mod == 0)
        return b;
    return gcd(b, mod);
}

void fact(std::vector<long long int> &array)
{
    for(long long int i = 0 ; i < array.size() ; ++i)
    {
        array[i] = (long long int)array.size() - i;
    }
}

void reduce(std::vector<long long int> &child, std::vector<long long int> &mother)
{
    for(long long int &c : child)
    {
        for(long long int &m : mother)
        {
            long long int n = (c > m)? gcd(c, m) : gcd(m, c);
            c /= n;
            m /= n;
        }
    }
}

long long int comb(long long int a, long long int b)
{
    std::vector<long long int> child(a);
    std::vector<long long int> mother1(b);
    std::vector<long long int> mother2(a - b);
    
    fact(child);
    fact(mother1);
    fact(mother2);
    
    std::vector<long long int> mother;
    mother.insert(mother.end(), mother1.begin(), mother1.end());
    mother.insert(mother.end(), mother2.begin(), mother2.end());
    
    reduce(child, mother);
    
    long long int c = 1;
    long long int m = 1;
    std::for_each(child.begin(), child.end(), [&c](long long int n){ c *= n; });
    std::for_each(mother.begin(), mother.end(), [&m](long long int n){ m *= n; });
    
    return c / m;
}
int main(int argc, const char * argv[])
{
    std::cout << comb(40, 20);
    return 0;
}