統計やデータ分析の世界では「VARモデル（Vector AutoRegressive Model）」という手法がよく使われます。この記事では、VARモデルを中学生にもわかるような具体例や数式を使いながら、丁寧に解説していきます！
1. VARモデルとは？
VARモデルは、複数の変数（データ）の間にある関係性を分析するためのモデルです。特に、ある変数が過去の自分や他の変数にどんな影響を受けているかを調べることができます。
たとえば次のような関係を考えます：
- 宿題をした時間（データA）が翌日のゲームの時間（データB）に影響する。
- ゲームの時間が、また翌日の宿題の時間に影響する。
VARモデルでは、こうした複数のデータの影響を数式で表して分析します。
2. 実生活の例で理解しよう
具体例を使って説明します。「宿題の時間」と「ゲームの時間」がどう影響し合うのかを考えてみましょう：
- $x_t$：今日の宿題をやった時間
- $y_t$：今日のゲームをやった時間
これらが過去の値（昨日の宿題やゲーム時間）から影響を受けているとします。
基本の数式
VARモデルでは、次のような数式を使います：
$
x_t = a_1 x_{t-1} + a_2 y_{t-1} + u_{x,t}
$
$
y_t = b_1 x_{t-1} + b_2 y_{t-1} + u_{y,t}
$
それぞれの要素の意味は以下の通りです：
- $x_t, y_t$：今日の宿題時間とゲーム時間
- $x_{t-1}, y_{t-1}$：昨日の宿題時間とゲーム時間
- $a_1, a_2, b_1, b_2$：係数（どれくらい影響を与えるかを示す数字）
- $u_{x,t}, u_{y,t}$：予測できない誤差（ランダムな要素）
3. 具体例で計算してみよう
仮に、昨日の宿題時間とゲーム時間が以下のようなデータだったとします：
| 時間 $(t)$ | 宿題 $(x_t)$ | ゲーム $(y_t)$ |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 |
| 3 | 4 | 1 |
次に、具体的な係数を設定して、時間 $(t = 3)$ の宿題時間とゲーム時間を計算してみます。
宿題時間の計算
宿題時間の数式は以下の通りです：
$
x_t = a_1 x_{t-1} + a_2 y_{t-1} + u_{x,t}
$
係数 (a_1 = 0.5), (a_2 = -0.2) とすると：
$
x_3 = 0.5 \cdot x_2 - 0.2 \cdot y_2 + u_{x,3}
$
データを代入すると：
$
x_3 = 0.5 \cdot 3 - 0.2 \cdot 2 + u_{x,3}
$
$
x_3 = 1.5 - 0.4 + u_{x,3} = 1.1 + u_{x,3}
$
最後に、誤差 $(u_{x,3})$ を考慮して実際の値を調整します。
ゲーム時間の計算
同じようにゲーム時間を計算します。ゲーム時間の数式は：
$
y_t = b_1 x_{t-1} + b_2 y_{t-1} + u_{y,t}
$
係数 $b_1 = -0.3$, $b_2 = 0.7$ を代入します：
$
y_3 = -0.3 \cdot x_2 + 0.7 \cdot y_2 + u_{y,3}
$
データを代入して計算：
$
y_3 = -0.3 \cdot 3 + 0.7 \cdot 2 + u_{y,3}
$
$
y_3 = -0.9 + 1.4 + u_{y,3} = 0.5 + u_{y,3}
$
4. 行列を使った表現
複数のデータを扱うとき、行列を使うとスッキリ書けます。上記の数式を行列で表すと：
$\begin{bmatrix}
x_t \newline
y_t
\end{bmatrix}
$ = $\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 \newline
b_1 & b_2
\end{bmatrix}
$$\begin{bmatrix}
x_{t-1} \newline
y_{t-1}
\end{bmatrix}
$ + $\begin{bmatrix}
u_{x,t} \newline
u_{y,t}
\end{bmatrix}
$
ここで：
- 左のベクトルは、今日の宿題とゲームの時間。
- 中央の行列は、各データがどれだけ影響を与えるかを示す係数。
- 右のベクトルは、昨日の宿題とゲームの時間。
- 最後のベクトルは誤差です。
5. VARモデルでできること
VARモデルを使うと、以下のことが可能になります：
-
未来の予測
過去のデータから「明日はどうなるか」を予測できます。 -
因果関係の発見
「どの変数が他の変数に強い影響を与えているか」を分析できます。
例えば、「宿題を増やすとゲームの時間が減るのか？」という疑問を検証できます。
6. まとめ
VARモデルは、複数のデータの関係性を分析して未来を予測するための便利な手法です。今回紹介した例のように、身近なデータでもその仕組みを理解することができます。
ポイントをおさらいすると：
- 過去のデータを使って、現在や未来の変化を予測。
- 数式や行列を使って、データ間の関係を表現。
- 応用すれば、経済学や気象学、マーケティングでも活躍！
少し数学的な部分もありますが、データ分析に興味がある方はぜひチャレンジしてみてください！