はじめに
時系列データを扱う際に重要なのが「データが定常か非定常か」を判断することです。データが定常でないと、回帰分析や予測の結果が信頼できなくなります。定常性を確認するための代表的な検定が DF検定 と ADF検定 です。本記事では、この2つの違いと、ADF検定の導出手順をステップバイステップで解説します。
※この記事は、ChatGPTの出力を基に作成しています。
1. ADF検定とDF検定の違い
まず、DF検定とADF検定の共通点と違いを整理します。
共通点
どちらも「データが単位根を持つかどうか」を検定し、定常か非定常かを確認します。
- 定常：データの平均やばらつきが時間とともに変わらない状態。
- 非定常：データの平均やばらつきが時間とともに変わる状態（例：インフレによる物価の上昇）。
DF検定（ディッキー・フラー検定）
- シンプルなデータ向け。
- 自己相関（データが前の値に影響されること）を考慮しない。
ADF検定（拡張ディッキー・フラー検定）
- DF検定を拡張したもの。
- 自己相関を考慮し、より複雑なデータにも対応。
- 過去のデータ（遅れ項）を追加して、自己相関の影響を除去する。
2. ADF検定の導出手順
ADF検定は次のステップで実施します。
ステップ 1：仮説の設定
- 帰無仮説 $\ H_0 $：データは単位根を持ち、非定常である。
- 対立仮説 $\ H_1 $：データは単位根を持たず、定常である。
ステップ 2：モデルの設定
ADF検定では、次の回帰モデルを使用します。
$
\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^p \delta_i \Delta y_{t-i} + \epsilon_t
$
- $\ \Delta y_t $：データの差分$( y_t - y_{t-1} )$
- $\ \alpha $：定数項
- $\ \beta t $：時間トレンド
- $\ \gamma y_{t-1} $：単位根の有無を調べる部分
- $ \sum_{i=1}^p \delta_i \Delta y_{t-i} $：遅れ項（自己相関を除去）
- $ \epsilon_t $：誤差項
ステップ 3：単位根検定の考え方
- 単位根がある場合：$\gamma = 0$ に近い（非定常）。
- 単位根がない場合：$\gamma < 0$（定常）。
ADF検定では、$\gamma$ が統計的に0でない（負の値）かを検定します。
ステップ 4：回帰分析の実施
-
差分を計算：元のデータから1次差分 $ \Delta y_t $ を取る。
-
遅れ項を設定：適切な遅れの数 $ p $ を選ぶ（AICやBICなどを用いる）。
-
OLS回帰：上記モデルを最小二乗法（OLS）で推定し、係数 $\gamma$ を求める。
-
t統計量を計算：$\gamma$ のt統計量を以下の式で計算します。
$
t_{\gamma} = \frac{\hat{\gamma}}{\text{標準誤差}(\hat{\gamma})}
$
ステップ 5：臨界値と比較
- t統計量の算出：ステップ4で計算した $ t_{\gamma} $ を使います。
- 臨界値表を参照：ADF検定には専用の臨界値表があり、有意水準（1%, 5%, 10%）ごとに異なります。
-
判定：
- $ t_{\gamma} $ が臨界値より小さい → 帰無仮説を棄却 → 定常。
- $ t_{\gamma} $ が臨界値より大きい → 帰無仮説を棄却できない → 非定常。
ステップ 6：結果の解釈
- 帰無仮説を棄却：データは単位根を持たず、定常である。
- 帰無仮説を棄却できない：データは単位根を持ち、非定常である。
3. まとめ：ADF検定はDF検定のパワーアップ版！
ADF検定はDF検定の拡張版であり、自己相関を考慮して複雑なデータに対応できる点が大きな違いです。導出手順では、データの差分を取って回帰分析を行い、t統計量を臨界値と比較することで定常性を検定します。
おわりに
ADF検定は時系列分析において必須の手法です。単位根の有無を正確に判定することで、データの特性を理解し、適切なモデルを構築できます。定常性の確認が必要な場合は、ぜひADF検定を使ってみてください！