KPSS検定（Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin検定）は、時系列データが「定常性」を持っているかどうかを判断するための重要な統計手法です。本記事では、KPSS検定の仕組みや数式の解説を、初心者でも理解できるようにわかりやすくまとめました。
※この記事は、ChatGPTの出力を基に作成しています。
定常性とは何か？
定常性とは、データの統計的性質が時間に依存しないことを意味します。具体的には、以下の条件を満たす場合に「定常」とみなされます：
- 平均値が一定である
- 分散が一定である
- 共分散が時間差だけに依存し、絶対的な時間には依存しない
例えば、平均20度を中心に上下する気温のデータは「定常的」といえます。一方で、時間とともに増加する売上データなどは「非定常的」です。
KPSS検定の概要
KPSS検定は、「データが定常的である」という仮定（帰無仮説）を立て、それを検証します。以下がその基本的な流れです。
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データのモデル化
KPSS検定では、データ$\ y_t $ を次のようなモデルとして表現します：
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y_t = \alpha + \beta t + u_t + \epsilon_t
$- $ \alpha $：定数項
- $ \beta t $：トレンド成分（時間とともに増加または減少する部分）
- $ u_t $：ランダムウォーク成分（累積的なランダム変動）
- $ \epsilon_t $：ホワイトノイズ（平均0、一定分散のランダム変動）
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帰無仮説と対立仮説
- 帰無仮説$\ H_0 $：データは定常である（ランダムウォーク成分 $ u_t $がない）。
- 対立仮説$\ H_1 $：データは非定常である（ランダムウォーク成分 $\ u_t $ が存在する）。
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統計量の計算
累積和 $ S_t $ を計算し、その二乗和とデータの分散を使ってKPSS統計量を算出します：
$
\eta = \frac{1}{T^2 \sigma^2} \sum_{t=1}^T S_t^2
$- $ S_t = \sum_{i=1}^t (y_i - \bar{y}) $（累積和）
- $ \sigma^2 = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2 $（分散）
- $ T $：データの総数
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臨界値との比較
計算した $ \eta $ を臨界値と比較します：- $ \eta $ が臨界値より小さい → 帰無仮説を採択（データは定常的）。
- $ \eta $ が臨界値より大きい → 帰無仮説を棄却（データは非定常的）。
データの総数T²を使う理由
累積和 $ S_t $ は、時間が進むほど値が大きくなる性質を持っています。そのため、その二乗和 $ \sum_{t=1}^T S_t^2 $ も時間に比例して大きくなります。
分母に $ T^2 $ を入れる理由は、次のような「累積効果」を補正するためです：
- 時間が長くなるにつれて累積和の増大を打ち消す。
- 統計量が時間のスケールに依存しないようにする。
結果として、データの総数にかかわらず統一された基準で評価が可能になります。
まとめ
KPSS検定は、時系列データが定常性を持っているかを判断するための重要な手法です。その基本的な考え方は：
- 累積和の二乗和 を基にデータの定常性を評価する。
- データのばらつきやスケールの影響を分散や総数 $\ T^2 $ で補正して標準化する。
- 計算された統計量を臨界値と比較して判定する。
KPSS検定の活用は、時系列データ分析の第一歩です。データの特性を理解し、適切な分析手法を選択するために、この手法をぜひ活用してみてください！