円の中を反射する点をgnuplotで描画したい！！

こんにちは。ツナマヨおにぎりです。おいしいですよね。

大学で、下のような正方形の中を反射して動く点のコードをつくりました。
（20バウンドで止まるようになっています）

ball.c

#include <stdio.h>
#include <unistd.h>
#include <math.h>

int main(void){
  FILE *gp,*fp;

  int counter = 0;
  int counter_max = 20;
  double x,y, vx,vy;
  
  // set boundary condition//
  double xmin = 0.0;
  double ymin = 0.0;    
  double xmax = 2.0;
  double ymax = 2.0;

  fp = fopen("trajectory.dat","w"); // 軌跡を保存
  gp = popen("gnuplot", "w"); // 
  fprintf(gp,"set terminal gif animate delay 2 loop 0; set output 'ball.gif'\n"); // 描画した結果をgifに保存     
  fprintf(gp, "set border 0\n");  // 枠線を消す
  fprintf(gp, "set object 1 rect from first %f, first %f to first %f, first %f back fc rgb 'white' fs solid\n", xmin,ymin,xmax,ymax);
  // boxの背景を白抜きにする
  fprintf(gp, "set xrange [%f:%f]\n",xmin-0.5,xmax+0.5);
  fprintf(gp, "set yrange [%f:%f]\n",ymin-0.5,ymax+0.5);
  fprintf(gp, "set size square\n");
  fprintf(gp, "unset tics\n");  
  
  // set initial condition //
  x = 0.2;
  y = 0.2;
  vx = 0.02;
  vy = sqrt(2.0)*0.01;

  while (counter < counter_max){
    x = x + vx;
    y = y + vy;        
    if(x>=xmax) {
      x=2.0*xmax-x;
      vx=-vx;
      counter += 1;
    }
    if(x<=xmin) {
      x=-x;
      vx=-vx;
      counter += 1;
    }
    if(y>=ymax) {
      y=2.0*ymax-y;
      vy=-vy;
      counter += 1;
    }
    if(y<=ymin) {
      y=-y;
      vy=-vy;
      counter += 1;
    }
    
    fprintf(fp,"%f %f\n", x,y);
    
    fprintf(gp,"set title '%d-th bounces'\n", counter);        
    fprintf(gp,"plot '-'w p pt 7 ps 7 lc 3 tit ''\n");
    fprintf(gp,"%f %f\n",x,y);
    fprintf(gp,"e\n");
    fflush(gp);
    usleep(5000);
  }
  return 0;
}

そこで、次の課題として、

円の中を反射して動く点描画してみよう！

というものが出ました。

自分で何とかやってみたのですが、反射の条件分岐がとにかくどうすればいいのか全く分かりません！！！！！

助けてください！！！！

以下、ポンコツ初心者がちょっといじって作ったコードです、、、
ちなみにこれを動かしても荒ぶるボールが出てくるだけです、、かなしい、、
有識者の方々、反射の部分詳しく教えていただけたら嬉しいです、、！

ball_circle.c

#include <stdio.h>
#include <unistd.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
	FILE *gp,*fp;

	int counter = 0;
	int counter_max = 20;
	double x,y, vx,vy;

	// set boundary condition//
	double xmin = -1.0;
	double ymin = -1.0;
	double xmax = 1.0;
	double ymax = 1.0;

	fp = fopen("trajectory.dat","w"); // 軌跡を保存
	gp = popen("gnuplot", "w"); // 
	fprintf(gp,"set terminal gif animate delay 2 loop 0; set output 'ball_3.gif'\n"); // 描画した結果をgifに保存     

	fprintf(gp, "set border 0\n");  // 枠線を消す
	fprintf(gp, "set xrange [%f:%f]\n",xmin-0.5,xmax+0.5);
	fprintf(gp, "set yrange [%f:%f]\n",ymin-0.5,ymax+0.5);
	fprintf(gp, "set parametric\n");
	fprintf(gp, "set size square\n");
	
	fprintf(gp, "unset tics\n");  
  
	// set initial condition //
	x = 0.2;
	y = 0.2;
	vx = 0.02;
	vy = sqrt(2.0)*0.01;

	while (counter < counter_max){
		x = x + vx;
		y = y + vy;
		
		if(x>=sqrt(1-y*y)){
			x=2.0*sqrt(1-y*y)-x;
			y=2.0*sqrt(1-x*x)-y;
			vx=-vx;
			//vy=vx;
			counter += 1;
		}
		
		if(x<=-sqrt(1-y*y)){
			x=2.0*sqrt(1-y*y)-x;
			y=2.0*sqrt(1-x*x)-y;
			//vx=-vx;
			vy=-vy;
			counter += 1;
		}
    
		fprintf(fp,"%f %f\n", x,y);
  
		fprintf(gp,"set title '%d-th bounces'\n", counter);        
		fprintf(gp,"plot '-'w p pt 7 ps 7 lc 3 tit '', [0:2*pi] cos(t),sin(t) lc 'black' title ''\n");
		fprintf(gp,"%f %f\n",x,y);
		fprintf(gp,"e\n");
		fflush(gp); //バッファーに溜まったデーターを掃き出す．これをしないと，real time animation にならない．
		usleep(5000);
	}
	return 0;
}