不偏分散ってなんなのか

不偏分散がよくわからなかったので詳しく教科書を読みました

1. はじめに知っておくこと
2. 平均値と期待値の違い
3. 不偏分散は推定値

##はじめに知っておくこと
平均値と期待値の違い
推定と自由度について
推定のために使われるということ

##平均値と期待値の違い

平均値
・取得した標本の値によって変化する

期待値
・取得した標本には関係なく一定の値
##推定と自由度について
ここで母平均の推定値の標本平均を例にあげます

\bar{X}=\frac{1}{n}((X_1)+(X_2)+\cdots+(X_n))  \\

この式を変形すると

((X_1-\bar{X})+(X_2-\bar{X})+\cdots)+(X_n-\bar{X})=0  \\

となります
ここでこの式がいつでも成立するようにするように$X_1～X_n$の値を考えると，1つの値(ここでは$X_n$)を調整用として残しておく
つまり

\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar{X})=-(X_n-X)

と変形すると左辺の$X_1$から$X_{n-1}$までが任意の値を取れる変数になります．
これの個数を自由度と呼びます
推定を行う際には基本的に自由度が1減ります

不偏分散は推定値

標本分散(n=標本数で割ったもの)は

S^2=\frac{1}{n}((X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2)  \\

で表すことができます

しかし
標本分散(k=自由度で割ったもの)は

s^2=\frac{1}{k}((X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})+\cdots+(X_n-\bar{X})^2)  \\

s^2=\frac{1}{n-1}((X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2)  \\

となります

推定値とは推定したい値となるべく一致するよう(過大過小でなく平均的に)に取られた値
つまり不偏分散とは母分散の期待値と一致するために生まれた値ということです

参考文献
統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)