タイトルは分かりやすくするため、$\textbf{W}=[f,x].fxx$のように書いたが、変数を置き換えただけで、同じコンビネータである。
$W\equiv[x,y].xyy$
$\equiv[x].([y].xyy)$
$\equiv[x].([y].(xy)y)$
$\equiv[x].S([y].xy)([y].y)$
$\equiv[x].S(x)(I)$
$\equiv[x].(Sx)I$
$\equiv S([x].Sx)([x].I)$
$\equiv S(S)(KI)$
$\equiv SS(KI)$
$x,y$を右から適用して検証してみる。
$SS(KI)xy$
$\rightarrow \{SS(KI)x\}y$
$\rightarrow \{Sx((KI)x)\}y$
$\rightarrow \{Sx(I)\}y$
$\rightarrow SxIy$
$\rightarrow xy(Iy)$
$\rightarrow xyy$
従って
$$[x,y].xyy\equiv SS(KI)$$
$\textbf{W}XY=XYY$なのでこれは対角化コンビネータ$\textbf{W}$なので$$\textbf{W}=SS(KI)$$