研究で直交多項式近似を使う内容があったので，これを機に以前授業のために購入した教科書を復習しました．
読ませて頂いた本は金谷健一先生の"これなら分かる応用数学教室"です．
一章
一章は最小二乗法から入力データをプロット点(選点)から関数やベクトルに拡張していく流れで進んでいく．
最小二乗法は複数の選点,関数，ベクトル（入力データ）に一次関数や二次関数，ある関数の線形結合などを当てはめる処理．
これを計算することで，求めた関数から入力データ以外のデータを再現可能．
最小二乗法を解き，当てはめる関数の係数を求めるには，入力データと当てはめる関数の差分の二乗和を最小化すればよい．
これは各係数についてその式を微分して求められるが，これを整理すると計算量がかかる正規方程式に帰着．
当てはめる関数が直交関数系（異なる関数の積の定積分が0になる）の場合，正規方程式を解く際に連立方程式を計算する必要がなく，各係数が簡単に求まる．
二章
二章は一章で触れた直交関数系についてと，関数やベクトルなどでも内積やノルムの定義を満たすように一般化した計量空間，その定義を用いたシュミットの直交化という流れで進んでいく．
最小二乗法が簡単に求まる直交関数系に関して，関数の直交性を定義した直交関数系を列挙
例) ルジャンドル，チェビシェフ，エルミート，ラゲール等
特に後ろの三つは最小化の式に異なる重みをかけることで，ある部分をより良く近似しようとしている．
ベクトルだけでなく関数（元）にも内積やノルムなどを定義できる計量空間を定義．
計量空間には公理があり，各ベクトルや関数がその公理を満たしていれば，それらの元がある線形空間は計量空間であり，ノルムや内積を定義可能．
最小二乗法による近似解は，幾何学的には近似前の元から直交系の張る部分空間に直交射影した元と考えることができる．
つまり，近似前の元から近似解の元を引いた元は，その直交系全てと直交関係になる．まさにこれはシュミットの直交化
他の直交関数系の内積，ノルムの定義をシュミットの直交化に適用．
以上です．走り書きなので，あとで見返して編集し直します．